Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
je fais un travail en mathématiques sur les triplets pythagoriciens, c'-à-d l'ensemble des triplets (n,p,q)∈N*³ pour lesquels n²+p²=q². On appelle le triplet primitif ssi PGCD(n,p,q)=1. exemples: (3,4,5); (5,12,13); (20,21,29) etc

Il existe une manière géométrique de générer trois triplets pythagoriciens primitifs à partir d'un seul triplet et c'est en essayant de démontrer ceci que j'ai été coincé à un endroit. Je sais que à partir du triplet pythagoricien primitif  (n,p,q) on génère le triplet (N=n-2p+2q ; P=2n-p+2q ; Q=2n-2p+3q). Vous pouvez vérifier : N²+P²=Q² ssi n²+p²=q².
Mais pour que ce triplet soit primitif lui aussi, je dois prouver que N=n-2p+2q et P=2n-p+2q sont premiers entre eux, sachant que (n,p,q) est un triplet pythagoricien primitif. J'ai cherché et j'aboutis sur N et P sont premiers entre eux ssi 4P-5N et P-2N sont premiers, c'est-à-dire 3n-2q et 3p-2q premiers, et là je bloque.

Quelqu'un aurait-il, s'il-vous-plait, une piste à suivre, une propriété intéressante, voire même la réponse pour que je puisse continuer? Celles-ce sont seront la bienvenue. Ce n'est qu'un petit détail par rapport à le démonstration, mais je ne peut le négliger.

Pour plus d'information, si le sujet vous intéresse. Je suis prêt à envoyer mon dossier.

Tom