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Hello,
 
  L'idée de Freddy est bonne, mais c'est plutôt le contraire ici : ta suite est croissante (et c'est très facile à démontrer d'après la définition).
Tu peux ensuite démontrer qu'elle est majorée. Prouver directement qu'elle est majorée est difficile. Je te conseille plutôt de démontrer par récurrence sur $n$ que
$$u_n\leq u_0+\sum_{k=1}^n \frac 1{2^n}$$
(je ne suis pas tout à fait sûr des indices de la somme!). Ensuite, tu devrais pouvoir facilement démontrer que la suite est majorée en majorant la somme qui intervient dans l'inégalité par une constante qui ne dépend pas de $n$.

F.