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Bonsoir,

Le résultat est faux si l'on se place dans le cas d'un groupe G abélien fini (qui est donc nécessairement de type fini), car les ordres de tous les éléments de G sont finis, donc pour $x \in G$ si on note n son ordre, alors pour tout entier k on a : $x^{n+k} = x^{k}$ et pourtant on aura pas forcément $n+k=k$, et tu fais la mêmes choses avec tous les éléments d'une famille génératrice de G et verras que la décomposition n'est pas unique.

Et même si on rajoute l'hypothèse de "modulo l'ordre" ça ne marchera pas non plus en prenant le cas du groupe des permutations de $\{1, ...,n\}$, en effet, toute permutation peut se décomposer en une composition de transpositions (échange de 2 éléments) mais qui n'est pas nécessairement unique si l'on ne se donne pas de conditions : (2 4 1) = (2 4)(2 1) = (4 1)(4 2) et pour toute transposition $\tau_{i,j}=(i \hspace{2mm} j)$ on a :
$\tau_{i,j}^{2} = Id$
Cordialement