Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Appliquer la règle du produit matriciel n'est pas compliqué en soi, mais j'étais bloqué sur les simplifications. Le temps de me remettre dans les simplifications de trigo, j'ai enfin réussi à trouver quelques solutions, mais pas sans peine et pas sans dizaine de lignes de calcul...

Néanmoins, il me manque toujours la solution pour [tex] r_{13} [/tex] et  [tex] r_{31} [/tex] qui sont quasi les mêmes calculs aux signes prés. Je vous mets donc l'ensemble des calculs, si vous pouvez m'aider encore pour les deux derniers...

Soit:

[tex] \dot{R_{01}} \cdot R_{10} = \begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12} & r_{13}\\
r_{21} & r_{22} & r_{23}\\
r_{31} & r_{32} & r_{33}
\end{bmatrix} [/tex]

Le résultat est [tex] \dot{R_{01}} \cdot R_{10} = \begin{bmatrix}
0 & \omega s\omega t & \omega\\
-\omega s\omega t & 0 & -\omega c \omega t\\
-\omega & \omega c \omega t & 0
\end{bmatrix} [/tex]

Avec :

[tex] r_{11} =-\omega s \omega t.c\omega t + 2\omega c\omega t.s\omega t.s^{2}\omega t+(\omega c^{2}\omega t+\omega s^{2}\omega t)c\omega t .s\omega t [/tex]
     [tex] = -\frac{\omega }{2}s2\omega t+\omega s2\omega t.s^{2}\omega t+\frac{\omega }{2}c2\omega t.s2\omega t [/tex]
     [tex] = \omega s 2 \omega t(s^{2}\omega t+\frac{c2\omega t-1}{2}) [/tex] et [tex] \frac{c2\omega t-1}{2} = - \frac{1-c2\omega t}{2} = -s2\omega t [/tex]

Soit [tex]  r_{11} = 0 [/tex]

[tex] r_{12} = 2\omega c\omega t.s\omega t.c\omega t+(\omega c^{2}\omega t+\omega s^{2}\omega t)(-s\omega t) [/tex]
     [tex]= \omega s 2 \omega t.c\omega t-\omega s\omega t .c2\omega t  [/tex]
     [tex]= \omega s 2 \omega t.c\omega t-\omega s\omega t .c2\omega t  [/tex]
     [tex]= \omega( s 2 \omega t.c\omega t- s\omega t .c2\omega t) [/tex]
     [tex]= \omega s\omega t( 2c^{2}\omega t- c2\omega t) [/tex] et [tex]2c^{2}\omega t- c2\omega t = 1+c2\omega t - c2\omega t = 1 [/tex]

Soit [tex]  r_{12} = \omega s\omega t [/tex]

[tex] r_{21} = -\omega s\omega t . s^{2}\omega t - \omega c\omega t.c\omega t.s\omega t [/tex]
     [tex]= -\omega s\omega t ( s^{2}\omega t + c^{2}\omega t ) [/tex] et [tex] s^{2}\omega t + c^{2}\omega t = 1 [/tex]

Soit [tex]  r_{21} = - \omega s\omega t = - r_{12} [/tex]

[tex] r_{22} = -\omega s\omega t . c\omega t + \omega c\omega t.s\omega t = 0 [/tex]

[tex] r_{23} = -\omega s\omega t . c \omega t . s\omega t - \omega c\omega t.c^{2}\omega t [/tex]
     [tex]= -\omega c\omega t ( s^{2}\omega t + c^{2}\omega t ) [/tex] et [tex] s^{2}\omega t + c^{2}\omega t = 1 [/tex]

Soit [tex]  r_{23} = - \omega c\omega t [/tex]

[tex] r_{32} = (\omega c^{2}\omega t - \omega s^{2}\omega t) . c \omega t + 2 \omega s\omega t . c \omega t . s\omega t [/tex]
     [tex]= \omega c \omega t (c^{2}\omega t - \omega s^{2}\omega t + 2 s\omega t . s\omega t) [/tex] et [tex] c^{2}\omega t - \omega s^{2}\omega t + 2 s^{2}\omega t = 1 [/tex]

Soit [tex]  r_{32} = \omega c \omega t = - r_{23}  [/tex]

[tex] r_{33} = \omega c \omega t . s \omega t + (\omega c^{2}\omega t - \omega s^{2}\omega t) c \omega t . s \omega t - 2 \omega . s \omega t . c ^{2}\omega t  [/tex]
     [tex]= \omega c \omega t . s \omega t ( c^{2}\omega t -  s^{2}\omega t - 2  c ^{2} \omega t +1 ) [/tex] et  [tex] - ( c^{2}\omega t +  s^{2}\omega t ) + 1 = 0 [/tex]

Soit [tex]  r_{33} = 0 [/tex]

Après, je rame...

[tex] r_{13} = \omega s^{2}\omega t + 2 \omega (c\omega t .s \omega t)(c\omega t .s \omega t)+(\omega c^{2} \omega t - \omega s^{2} \omega t)c^{2}\omega t  [/tex]
     [tex]= \omega ( s^{2}\omega t + 2 (c\omega t .s \omega t)(c\omega t .s \omega t)+( c^{2} \omega t -  s^{2} \omega t)c^{2}\omega t) [/tex]
     [tex]= \omega ( s^{2}\omega t + \frac{1}{2} s^{2} 2\omega t+ c2 \omega t . c^{2}\omega t) [/tex]

Idem pour :

[tex] r_{31} = - \omega c^{2}\omega t + (\omega c^{2} \omega t - \omega s^{2} \omega t)s^{2}\omega t - 2 \omega (c\omega t .s \omega t)(c\omega t .s \omega t) [/tex]

Il ne manque pas grand-chose, mais je n'ai pas la solution...

Merci encore.

PS : Je viens seulement de découvrir le LaTeX