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#1 Re : Entraide (supérieur) » Construction de réels à l'aide de séries (Oral) » 25-11-2019 20:01:04
Bonsoir,
La démonstration du sens retour ($x<\frac{1}{k^{2}}$ et $x<R_{k}$ implique $(\varepsilon_n)$ existe) qui permet l'équivalence est plus longue, ici je ne m'intéressais qu'au résultat $R_{n}>\frac{1}{n^{2}}$.
En effet, pardon je voulais dire merci à @Maenwe.
#2 Re : Entraide (supérieur) » Construction de réels à l'aide de séries (Oral) » 23-11-2019 10:14:39
Bonjour,
@Maenwe, @Zebulor, merci à vous deux pour les réponses. En effet, après relecture l'arrivée à ma conclusion me paraît un peu floue, je voulais dire :
les éléments de $\left[\frac{1}{(k+1)^{2}} , \frac{1}{k^{2}}\right]$ sont tous atteignables ssi $R_k > \frac{1}{k^{2}}$
et donc :
les éléments de $\left[0, \frac{1}{4}\right]$ sont tous atteignables ssi $\forall n\in\mathbb{N}\backslash\{0,1\}, R_n > \frac{1}{n^{2}}$
J'avais montré dans une première partie de mon raisonnement (que je n'ai pas mise ici, mea culpa) qu'on pouvait construire une suite $(\varepsilon_n)$ convenable si après avoir supprimé les termes trop grands ce qu'il nous restait était plus grand que $x$, d'où mon équivalence.
J'obtiens finalement $I=\left[0,\frac{\pi^{2}}{6}-1\right]\cup\left[1,\frac{\pi^{2}}{6}\right]$
@Zebulor merci pour le conseil LateX
#3 Re : Entraide (supérieur) » Construction de réels à l'aide de séries (Oral) » 22-11-2019 18:52:18
Peux tu m'expliquer pourquoi ce problème revient à montrer cette inégalité ? (c'est juste par curiosité ;) )
Bonsoir,
Merci pour la réponse @Maenwe.
En ce qui concerne l'équivalence, je généralise la petite analyse faite pour [tex]x<1[/tex].
Soit [tex]k\in\mathbb{N}^{*}[/tex], je suppose [tex]x<\frac{1}{k^{2}}[/tex].
Alors, si [tex]x[/tex] vérifie la propriété (i.e : il existe [tex](\varepsilon_{n})_{n\in\mathbb{N}}\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}[/tex] telle que [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}}=x[/tex]), les [tex]k[/tex] premiers termes de la suite [tex](\varepsilon_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/tex] en question sont nuls.
Ainsi :
[tex]x=\sum_{n=k+1}^{+\infty}\frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}}[/tex]
D'où :
[tex]x≤\sum_{n=k+1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}}[/tex]
c'est-à-dire : [tex]x≤R_{k}[/tex], avec [tex]R_{k}[/tex] le reste à l'ordre [tex]k[/tex] de la série [tex]\sum\frac{1}{n^{2}}[/tex].
Ainsi, les éléments de [tex][0,\frac{1}{k^{2}}[[/tex] sont tous "atteignables" si et seulement si [tex]R_{k}≥\frac{1}{k^{2}}[/tex] (effectivement l'inégalité n'était peut-être pas stricte).
@Zebulor le cas que j'évoque est celui où [tex]k=1[/tex], dans ce cas l'inégalité ci-dessus n'est pas vérifiée et certains réels de [tex][0,1][/tex] ne peuvent pas être atteints, mais ma conjecture était que pour tous les autres entiers cela fonctionnait. Merci encore pour l'aide.
#4 Entraide (supérieur) » Construction de réels à l'aide de séries (Oral) » 21-11-2019 21:31:26
- delveraria
- Réponses : 11
Bonjour,
Je voudrais déterminer l'ensemble [tex]I[/tex] des réels [tex]x[/tex] pour lesquels il existe une suite [tex](\varepsilon_{n})_{n\in\mathbb{N}}\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}[/tex] telle que [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}}=x[/tex] .
Je cherche à montrer que [tex]I=[0,\frac{\pi^{2}}{6}-1]\cup[1,\frac{\pi^{2}}{6}][/tex].
Pour cela je me suis donné [tex]x[/tex] un réel et j'ai supposé qu'il était inférieur à 1 strictement. On a alors [tex]\varepsilon_{1}=0[/tex] et
[tex]x=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}}≤\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}(\approx0,64)[/tex]
On ne peut donc pas atteindre tous les réels entre 0,65 et 1.
Cependant, je ne parviens pas à montrer que cela n'arrive que dans ce cas, ce qui revient à montrer que : [tex]\forall n\in\mathbb{N}\backslash\{0,1\},R_{n}≥\frac{1}{n^{2}}[/tex] où [tex]\forall n\in\mathbb{N}^{*},R_{n}=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}[/tex].
Merci.
#5 Re : Entraide (supérieur) » Oral ENS - Inégalité et fonctions de N dans R » 12-07-2019 19:05:28
Bonjour,
j'avais effectivement pensé à une récurrence (en utilisant les formules explicites), mais la souffrance est au rendez-vous.
#6 Re : Entraide (supérieur) » Oral ENS - Inégalité et fonctions de N dans R » 07-07-2019 10:20:38
Bonjour,
Je suis confus, c'est une erreur de ma part. [tex]f^{2}[/tex] est défini comme [tex]f*f[/tex] tout simplement, c'est [tex]P^{n}(f)[/tex] qui est défini comme [tex]P(P^{n-1}(f))[/tex].
Je rectifie mon post, merci.
#7 Entraide (supérieur) » Oral ENS - Inégalité et fonctions de N dans R » 05-07-2019 09:47:49
- delveraria
- Réponses : 7
Bonjour,
Je pédale un peu dans la semoule sur cet exercice :
Soit [tex]f:\mathbb N\rightarrow\mathbb R[/tex]. On définit :
[tex]P(f):\mathbb N\longrightarrow\mathbb R[/tex]
[tex]k\longmapsto\frac{1}{2}\left(f(k+1)+f(k)\right) [/tex]
et
[tex]D(f):\mathbb N\longrightarrow\mathbb R[/tex]
[tex]k\longmapsto\left(f(k+1)-f(k)\right)[/tex]
Soit [tex]n\in\mathbb N[/tex]. Montrer que : [tex]\forall k\in\mathbb N[/tex],
[tex]P^{n}(f^{2})(k)-\left(P^{n}(f)(k)\right)^{2}≤\frac{n}{4}P^{n-1}(D(f)^{2})(k)[/tex]
Avec, pour [tex]i\in\mathbb N, P^{i}(f)= P(P^{i-1}(f))[/tex] et [tex] f^{i}=f\times f\times···\times f [/tex] ([tex]i[/tex] fois)
Conventions : [tex]P^{0}(f)=f[/tex] et [tex]f^0=Id[/tex]
J'ai réussi à exprimer [tex]P^{n}(f)[/tex] :
[tex]\forall k \in\mathbb N, P^{n}(f)(k)=\frac{1}{2^{n}}\sum_{i=0}^{n}\left(\begin{array}{c}
n\\
i
\end{array}\right)f(k+i)[/tex]
J'obtiens finalement :
[tex]\forall k\in\mathbb N,[/tex]
[tex]P^{n}(f^{2})(k)-\left(P^{n}(f)(k)\right)^{2}=\frac{1}{2^{n}}\left[\sum_{i=0}^{n}\left(\begin{array}{c}
n\\
i
\end{array}\right)f^{2}(k+i)\left(1-\frac{1}{2^{n}}\left(\begin{array}{c}
n\\
i
\end{array}\right)\right)-2\sum_{1≤i<j≤n}\left(\begin{array}{c}
n\\
i
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
n\\
j
\end{array}\right)f(k+i)f(k+j)\right][/tex]
Mais pour ce qui est de majorer je ne vois pas comment faire, peut-être y a-t-il une astuce en passant par des intégrales ?
Si vous avez des idées je suis preneur.
Merci.
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