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Bonjour Zebulor, Bonjour Freddy, Merci de vos reponses,

j'ai suivie la route de freddy

[tex]\int_{\frac14}^{\frac34} x^n (1 - x)^n \, dx  = \int_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx - 2\int_0^{\frac{1}{4}} x^n (1 - x)^n \, dx \tag1[/tex]

la premiere integrale eest une fonction beta et la deuxieme est une beta incomplete qui peut etre exprimer a l'aide de fonction hypergeometrique.

ici l'un des arguments de la fonction hypergeometrique $_{2}F_{1}$ est negatif donc la serie va en faite etre une somme finie.

qui apres simplifaction donne le meme resultat que si j'emploie la formule du binome a partir de la reecriture (1)

en effet :

[tex]\begin{align}\int_{\frac14}^{\frac34} x^n (1 - x)^n \, dx & = B(n+1,n+1) - 2B(\frac14;n+1,n+1) = \frac{\Gamma^2(n+1)}{\Gamma(2n+2)} -\frac{2}{4^{n+1}n+1}{_{2}}F_{1}(n+1,-n,n+2,\frac{1}{4}) \\
&=\frac{(n^2)!}{(2n+1)!} -\frac{2}{4^{n+1}n+1} {_{2}}F_{1}(n+1,-n,n+2,\frac{1}{4})
\end{align}[/tex]

donc

[tex]\begin{align}{_{2}}F_{1}(n+1,-n,n+2,\frac{1}{4}) &=  \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} \frac{(n+1)_k}{4^k(n+2)_k}   \\
&= 1 + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+k)}{4^k(n+2)(n+3)\cdots(n+k+1)} \\
&=1 + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(n+1)}{4^k(n+k+1)} \\
\end{align}[/tex]

ce qui est deja meilleur que deux sommes.

par contre je n'ai pas encore essayer l'approche 'Integrale de Wallis.' de Zebulor.