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Je viens de parcourir mon cours dans son intégralité je ne vois nul part la notion d'espace vectoriel associé. Pourriez-vous m'en dire plus?

Très bien, je vais essayer de me faire confiance alors.
Pour la question suivant, j'ai oublié de préciser que I est le milieu de (A,B) et J est le milieu de (C,D).
Je dois donc montrer que K appartient à (IJ), c'est à dire qu'il existe a,b tel que aKI+bKJ=0
Je sais que:
I=mil(A,B) donc IA+IB=0 <=> AI=1/2 AB
I=bar((A,1),(B,1))

J=mil(C,D) donc JC+JD=0 <=> CJ=1/2 CD
J=bar((C,1),(D,1))

J'ai beaucoup de relations mais je ne sais pas laquelle peut me permettre d'arriver au résultat. J'ai essayé d'injecter K dans IA+IB=0 et dans JC+JD=0 mais je n'aboutit à rien.

Désolé, je ne vois pas dans quel cas appliquer Thalès pour trouver l'expression demandée. Je ne comprends d'ailleurs pas pourquoi il n'y a aucun vecteur dans cette égalité.

Merci. Voici donc ce que j'ai obtenue:
K appartient à (AD) donc il existe α appartenant à R tel que AK=αAD
K appartient à (BC) donc il existe β appartenant à R tel que BK=βBC

donc α= AK/AD et β=BK/BC

On sait que:
(AD) et (BC) sont sécantes en K
(AB) et (DC) sont aprallèles car ABCD est un trapèze
D'après le théorème de Thalès:
AK/AD=BK/BC

donc α=β
On obtient AK=αAD
            et BK=βBC

AK=α(AK+KD)                     BK=α(BK+KC)
<=> AK=αAK+αKD              BK=αBK+αKC
<=>-KA=-αKA+αKD           -KB=-αKB+αKC
<=>   0=-αKA+KA+αKD         0=-αKB+KB+αKC
<=>   0=(1-α)KA+αKD           0=(1-α)KB+αKC
On pose x=1-α
On a donc 0=xKA+(1-x)KD et 0=xKB+(1-x)KC
Donc K=bar((A,x),(D,(1-x))) et K=bar((B,x),(C,(1-x)))

Cela est-il correct?

Bonjour,
Merci pour votre réponse. Voici ce que j'ai fait:
=> L'implication "ABCD est un trapèze alors il existe α>0 D=bar((A,α) , (B,-α) , (C,1))"
ABCD est un trapèze donc il existe λ<0 tel que
CD=λAB
<=> CD=λ(AD+DB)
<=> CD=λAD+λDB
<=> -DC=-λDA+λDB
<=> 0=-λDA+λDB+DC
On pose α=-λ>0
Donc D=bar((A,α),(B,-α),(C,1))

<= L'implication "Il existe α>0 tel que D=bar((A,α),(B,α),(C,1) alors ABCD est un trapèze"
0=αDA-αDB+DC
<=> 0=α(DA-DB)+DC
<=> 0=α(BD+DA)+DC
<=> 0=αBA+DC
<=> -DC=αBA
<=> CD=-αAB
On pose λ=-α<0
Donc CD=λAB
Donc ABCD est un trapèze

Cela est-il correct?