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Bonjour bouhlel007,

1//

  Pour [tex]\varepsilon=1[/tex], tu sais qu'il existe [tex]\alpha>0[/tex] tel que
[tex]|x-y|<\alpha\implies |f(x)-f(y)|<1 [/tex].

Tu partages l'intervalle ]0,1[ en
[tex] ]0,\alpha]\cup [\alpha,2\alpha]\cup [2\alpha,3\alpha]\cup...[n\alpha,1[[/tex]
avec n tel que [tex](n+1)\alpha\geq 1[/tex].

Pour chaque petit intervalle, tu prends un point [tex]x_i[/tex] dedans. Je te laisse prouver
que [tex] |f(x)|\leq \max(|f(x_1)|,\dots,|f(x_n)|)+1[/tex],
en utilisant bien sûr le choix de [tex]\alpha[/tex].

Pour la réciproque, regarde la fonction sin(1/x). Est-elle uniformément continue en 0????

2// Tu dois écrire si f ne tend pas vers 0, alors il existe une suite (x_n) telle que |f(x_n)|>=1 et (x_n) tend vers l'infini.
Par uniforme continuité (appliquée avec epsilon=1/2), sur un intervalle du type [x_n-alpha,x_n+alpha], on aura toujours |f(x_n)|>=1/2.
Ceci va contredire le critère de Cauchy.

Tu sais, en général, sur un forum, les gens répondent toujours le plus vite possible!

Fred.