Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut tout le monde

je crois que la résolution de ce problème peut se faire simplement en se reférant à l'inégalité de la moyenne : [tex]2\sqrt{xy}\leq x+y[/tex]

Bonsoir
utiliser le fait qu'une équation du second degré à coefficients dans Z admet une solution dans Z si et seulement si son discriminent est un carrée parfait

Bonjour
je crois que mon intervention est mal comprise. Je m'explique
dire que a <n alors a divise (n-1)! et b<n alors b divise (n-1)!. mais pour conclure que ab divise (n-1)!; il faut ajouter la condition a et b sont premiers entre eux
Mais, dire que n=ab pour conclure que ab divise (n-1)!,il faut ajouter la condition a et b sont distincts.

Je vais maintenant formuler la réponse à la question: quels sont les entiers naturels n tels que n² divise  (n-1)!
remarquons que 1 répond à la question
remarquons que tous les nombres premiers ne répondent pas à la question
soit n un entier nautel supérieur strictement à 1 et non  premier
Premier cas: n est impair
alors n=ab où a et b sont premiers entre eux, car n est non premier
comme n est impair alors a>2 et b>2
ce qui implique que 2a<n . le nombre a figure deux fois dans la décomposition de  (n-1)!  alors a² divise  (n-1)!
de meme on a : b² divise  (n-1)!
comme a et b sont premiers entre eux alors a² et b² sont premiers entre eux
donc a²b² divise (n-1)! c'est -à - dire n² divise (n-1)!
Deuxième cas: n= m.2^k où k est un entier strictement supérieur à 1 et m est un nombre impair distinct de 1
On a 2m<n alors m²  divise (n-1)!
On a aussi 2.2^k<n alors 2^2k divise (n-1)!
comme m² et 2^2k sont premiers entre eux alors n² divise divise (n-1)!
il resute les deux cas: n=2^k et n=2m
On procéde de la meme manière.

Bonjour
pour que la démonstration soit juste il faut supposer que les entiers a et b sont premiers entre eux, en vertu du résultat si a divise x et b divise x et a et b sont premiers entre eux alors ab divise x. ce résultat tombe en défaut si a et b  ne sont pas premiers entre eux. contre exemple : 6/12 et 4/12; mais 24 ne divise pas 12

Bonsoir
je crois que la question ainsi formulée par tibo est simple à justifier
soient p et q deux nombres naturels non nuls tels que q premier
il existe a et b deux entiers naturels non nuls tels que : a+b=q; il suffit de prendre a=1 et b= p-1 ou a=2 et b=p-2 suivant les cas.
On pose : x=ap et y=bp
comme q est premier et a et b non nuls alors pgcd(a;b)=1 . donc : pgcd(x;y)=p
ce qui prouve x et y verifiant les contraintes de la questiuon sauf la contriante del'unicite, qui n'est pas réalisé.

la condiution p est premier n'est pas obligatoire.

Bonjour
    Si j’ai bien compris, Golgup ne veux pas utiliser le pgdc pour résoudre le problème en question.
    Je vais proposer une méthode qui se base implicitement sur l’algorithme d’EUCLIDE :
**On a : [tex]\frac{61}{8}=7+\frac{5}{8}[/tex]
Comme [tex]\frac{5}{8}[/tex] est non simplifiable alors [tex]\frac{61}{8}[/tex] est non simplifiable.
**On a : [tex]\frac{40}{29}=1+\frac{11}{29}[/tex]
Comme [tex]\frac{11}{29}[/tex] est non simplifiable ( on remarque que 11 ne divise pas 29)alors [tex]\frac{40}{29}[/tex] est non simplifiable. Par conséquent [tex]\frac{29}{40}[/tex] est non simplifiable
**On a : [tex]\frac{56}{13}=4+\frac{4}{13}[/tex]
Comme [tex]\frac{4}{13}[/tex] est non simplifiable alors [tex]\frac{56}{13}[/tex] est non simplifiable. Par conséquent [tex]\frac{13}{56}[/tex] est non simplifiable

    Ce problème ouvre un débat sur la possibilité de reconnaître une fraction est simplifiable ou non dans le cas où son numérateur et son dénominateur n’ont pas un diviseur commun trivial. Par exemple la fraction [tex]\frac{347}{695042}[/tex] est –elle simplifiable ?

Bonsoir
Effectivement, 20 est le nombre demandé

Bonsoir
Tu a raison, yoshi. Je n’ai pas fait attention.
il est difficile de lire toute la démonstation sur écran.

Salut, cher collège yoshi
    Je n’ai aucune intention de faire passer ma conception. Je veux simplement discuter des méthodes simples pour résoudre des problèmes apparemment difficiles, à travers des situations.
    Si tu vois que ma contribution à ce forum n’est pas intéressante, je te demande cordialement d’effacer mes interventions, que tu juge non bénéfiques.

Bonsoir
tibo,Il s’agit d’une plaque métallique de forme triangulaire.
ton intuition est juste, pour la démontrer il suffit de remarquer si M est le milieu du segment [BC] alors la droite (AM) partage le triangle ABC en deux triangles de même surface.

Bonsoir
    Ce problème a servi de sujet à un récit humoristique qui rappelle le répétiteur de Tchékhov. Deux personnes de la famille de l’élève auquel on a donné ce problème à résoudre cherchent en vain la réponse et raisonnant ainsi :
    -il y a quelque chose d’étrange là-dedans, dit l’un d’eux ; si en 24 jours 70 vaches mangent toute l’herbe du pré, combien de vaches la mangeront en 96 jours ? Évidemment, ¼ de 70, c'est-à-dire 17 vaches et ½.. Première bêtise ! et voici la deuxième : 30 vaches mangent tout l’herbe en 60 jours ; combien de vaches la mangeront en 96 jours ? le résultat est encore pire : 18 vaches et ¾ . de plus : si 70 vaches mangent toute l’herbe en 24 jours ; 30 vaches la mangeront en 56 jours, et  pas du tout en 60 jours,comme l’énonce le problème.
    -Avez-vous tenu compte du fait que l’herbe pousse tout le temps ? demande l’autre.
    Cette remarque est fondée : l’herbe pousse de façon continue, et si l’on ne tient pas compte de ce fait, on ne pourra pas résoudre ce problème et son énoncé même paraîtra contradictoire.

Bonjour
On peut reformuler cette situation comme suit :
On accroche au plafond d’une salle, une pièce métallique homogène par un point M de sa surface de telle sorte que la pièce sera en équilibre.
Quelle est la position de ce point M ?