Forum de mathématiques - Bibm@th.net

En fait ça serait déjà pas mal si j'arrivais à faire ça. T'as une idée de comment faire ?

Ouais j'ai essayé de faire un truc comme ça mais j'arrive pas à grand chose. Je vois pas à quels moments le fait que a ou b soient constants intervient en tout cas.

Nous avons [tex]g(x)==\frac{3-\sqrt{|x|}+\cos(1/x)-2x\sin(1/x)}{K}[/tex] et on veut montrer qu'elle est inférieure à [tex]4/K[/tex]. Ce qui revient au meme que [tex]-\sqrt{|x|}+\cos(1/x)-2x\sin(1/x) \leq 1[/tex] sauf que je l'ai tapé comme ça.

La fonction étant paire, nous pouvons nous placer sur [tex][0,1][/tex].

1) Nous avons [tex]g(x) \leq \frac{3-\sqrt{x}+1+2x}{K}[/tex]
en majorant simplement le cosinus et le sinus.

Or [tex]\frac{4-\sqrt{x}+2x}{K} \leq \frac{4}{K}[/tex] pour [tex]x \in [0,1/4].[/tex]

2) Pour [tex]x>(\arcsin(0))^{-1}=1/\pi[/tex], nous avons [tex]x\sin(1/x)>0.[/tex]

Donc, sur cet intervalle, [tex]g(x) \leq \frac{3-\sqrt{x}+\cos(1/x)}{K}[/tex]

et [tex]\frac{3-\sqrt{x}+\cos(1/x)}{K} \leq 4/K[/tex] revient à [tex]-\sqrt{x}+\cos(1/x) \leq 1[/tex] ce qui est toujours vérifié.

3) Il nous reste donc l'intervalle [tex][1/4,1/\pi][/tex].

Sur cet intervalle, nous avons [tex]\cos(1/x)<0[/tex].

Donc [tex]g(x) \leq \frac{3-\sqrt(x)-2x\sin(1/x)}{K}\leq \frac{3-x-2x\sin(1/x))}{K}\leq \frac{3-x+2x}{K} \leq \frac{3+x}{K} \leq 4/K[/tex]

Hésitez pas si vous voyez des erreurs mais a priori ça devrai etre bon.

En fait je me suis vautré sur les signes la fonction à étudier c'est

[tex] -\sqrt{|x|}+cos(1/x)-2*x*sin(1/x)  [/tex]

Mais ça change pas fondamentalement le probleme

En gros si on reprend ton 1. on a que c'est bon pour x < 1/4
et si on reprend le 2. c'est bon pour x>1/arccos(0)=0.64 environ.

Il reste donc 0.25<x<0.64 à démontrer

Merci Fred en effet ça a pas l'air mal.

J'étais parti pour essayer de chercher le max sur une "période" mais ta démonstration est claire et rapide.

Merci de ta réponse, il me semblait que c'était relativement compliqué.

Qu'entends-tu par "prouver à la main" ?

Ben non car le probleme de Monty Hall c'est bien 2/3 et 1/3 c'est connu et classique.

Nous on veut modifier ce probleme en supposant que la porte est ouverte au hasard par le présentateur mais qu'on l'ouvre et qu'on voit une chevre.

Voilà ce que donne ma démonstration.
[tex]
\textrm{Nous avons}

$$S_n \stackrel{p.co.}\rightarrow 1$$

\textrm{c'est à dire que, }$\forall \varepsilon > 0$,

$$ \sum_{n \geq 1} P (|S_n-1|>\varepsilon) < +\infty.$$

\textrm{ De m\`eme nous avons }$$R_n \stackrel{p.co.}\rightarrow 1.$$

\textrm{ Nous obtenons, }$\forall \varepsilon > 0$,

\begin{eqnarray}
\sum_{n \geq 1} P \left(\left|\frac{S_n}{R_n}-1\right|>\varepsilon\right) &=& \sum_{n \geq 1} P \left(\left|\frac{S_n}{R_n}-\frac{1}{R_n}+\frac{1}{R_n}-1\right|>\varepsilon\right) \nonumber \\
&<& \sum_{n \geq 1} P \left(\left|\frac{S_n}{R_n}-\frac{1}{R_n}\right|> \varepsilon\right) +\sum_{n \geq 1} P\left(\left|\frac{1}{R_n}-1\right|>\varepsilon \right) \nonumber \end{eqnarray}

\textrm{Or} $\exists n_0>1$ \textrm{tel que, pour }$n>n_0$, \textrm{on ait }$R_n>M$\textrm{ p.co. avec }$0<M<1$.

\textrm{Donc}

\begin{eqnarray}
\sum_{n \geq 1} P \left(\left|\frac{S_n}{R_n}-1\right|>\varepsilon\right) &<& \sum_{n = 1}^{n_0} \left[ P \left(\left|\frac{S_n}{R_n}-\frac{1}{R_n}\right|> \varepsilon\right) + P\left(\left|\frac{1}{R_n}-1\right|>\varepsilon \right) \right] \nonumber \\
&+ &\sum_{n = n_0+1}^{+\infty} \left[ P \left(\left|S_n-1\right|> \varepsilon M\right) + P\left(\left|R_n-1\right|>\varepsilon M\right) \right] \nonumber
\end{eqnarray}

\textrm{Or la premi\'ere somme est inf\'erieure à }$2n_0$ \textrm{et la deuxi\'eme est inf\'erieure \`a l'infini par convergence presque compl\`ete de }$S_n$ \textrm{et} $R_n$.\textrm{ On a donc bien}

$$\sum_{n \geq 1} P \left(\left|\frac{S_n}{R_n}-1\right|>\varepsilon\right) < \infty$$

\textrm{et finalement, pour }$R_n \ne 0$,
$$\frac{S_n}{R_n} \stackrel{p.co.}\rightarrow 1.$$
[/tex]

Merci beaucoup.

Peux tu me donner une idée des arguments de la preuve ? Ou si tu le connais le nom du théorème pour que je retrouve cette derniere.