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Bonjour ,

Qui peut m'aider à résoudre ce DM?
Merci d'avance.

Dans cet exercice on veut étudier l'existence de solutions (u, v) ∈ R2 du système : ?u+v=s
  uv = p
où p et s sont deux réels donnés. On commence dans les trois premières questions par étudier le cas
particulier où s = 3 et p = 1 . Puis on traitera le cas général. 22
Cas particulier
1) Montrer que les fonctions polynômes f1 et f2, dé?nies pour tout x ∈ R par f1(x) = 2x2 − 3x + 1 et f2(x) = x2 − 3 x + 1 ont les mêmes racines. Les calculer.
22
2) Calculer la somme et le produit de ces racines. Que remarquez-vous ? On pourra comparer ces valeurs aux coe?cients de f1 et f2 ainsi qu'étudier les possibles liens avec le système (1).
3) Déterminer toutes les solutions de (1) quand s = 3 et p = 1 . 22
Cas général
On veut montrer que (u, v) ∈ R2 est solution de (1) si et seulement si u et v sont racines de la fonction f dé?nie sur R par f(x) = x2 − sx + p.
4) Soit g la fonction trinôme du second degré dé?nie sur R par g : x ?→ ax2 + bx + c. Montrer que, dans le cas où g possède des racines x1 et x2 (dans le cas d'une racine double on prendra x1 = x2), celles-ci véri?ent :  b
(2)
5) Combien de couples solution de (1), la question précédente vous permet-elle de déduire? Avez-vous prouvé que ce sont les seuls ?
6) Prouver que si (u,v) ∈ R2 est solution de (1) alors u et v sont des racines de f.
7) Donner une condition nécessaire et su?sante sur s et p pour que (1) possède au moins une solution.
Application
8) Soit r ∈ R. On cherche u et v tels que leur somme et leur produit soient égaux à r. Pour quelles valeurs de r, existent-ils des solutions u et v ? Quelles sont-elles ?
(1)
       x 1 + x 2 = − a  x 1 x 2 = c
  a
En déduire que si u et v sont racines de f alors (u, v) ∈ R2 est solution de (1).