Forum de mathématiques - Bibm@th.net

On obtient à partir des couples indiqués en rouge le développement bicimal
0,011010101010101010 etc.
qui est le développement bicimal de 5/12,  nombre non bicimal et qui ne figure pas dans ta liste, à aucun rang.

Pour tout entier naturel
n≥1  les bicimales n° 2n-1 et 2n du nombre produit sont ...   ( Michel Coste )

Bonjour
Je crois que dans notre étude n = 0, mais je pense que, même si cela est vrai, cela n'a pas d'importance. Par exemple, ce que j’aimerais savoir, c'est pourquoi en base 2 les chiffres sont pris 2 par 2 pour créer le nombre de la diagonale? Excusez-moi, peu habile dans les travaux  mathématiques, je construis mes nombres un par un, façon de ne pas me tromper. Autre surprise pour moi, les 0 bicimaux sans fin sont pour moi des 0 inactifs que je n'exprime donc pas.

Ce procédé de construction prouve en même temps que, quel que soit n, le nombre produit est différent du n-ème nombre de la liste
  Si c'est ce que je comprends, cela est tellement évident que j'ai toujours dit que ce nombre est à chercher plus loin dans le tableau.

  Pour le nombre cité plus haut, tout au moins pour la partie exprimée,créé par la diagonale, voici le chemin pour y arriver. Je ne vais pas développer tous les nombres, je ne ferai qu'indiquer la suite de nombres qui conduit à ce dernier dans le tableau, le premier nombre de cette suite est pris dans le tableau que Tibo a proposé, nombre à 5 chiffres.
0,01101     0,011010     0,0110101     0,0110101      0,01101010     0,011010101     0,0110101010     0,01101010101    0,011010101010           
    0,0110101010101     0,01101010101010    0,011010101010101    0,0110101010101010    0,01101010101010101   .........., nombre à chercher parmi les nombres du tableau à 17 bicimales, mais n'oublions pas que cette suite continue à l'infini.

    Pour les nombres décimaux l'obstacle des 2 chiffres à la fois, qui a vrai dire ne doit pas changer grand chose, n'existant pas, la démonstration est aussi valable.

   Modifications apportées pour ceux qui veulent tenter l'expérience.
Bonne soirée à tous

Bonjour
Visiblement ça n'a pas été testé tel que je le propose: le premier nombre n'a qu'une bicimale active
                                                                              il y a ensuite 2 nombre aux lignes 2, puis 3, avec chacun 2 bicimales
                                                                              puis 4 nombres aux lignes 4,5, 6, 7, avec chacun 3 bicimales
Tous ces nombres sont complété par des 0 inactifs.
La diagonale, elle, en est déjà à un nombre de 7 bicimales.

Bon courage

Bonjour encore une fois
Yoshi, tu me dis:Je conçois que tu puisses t'agacer qu'on te renvoie systématiquement à la "diagonale de Cantor".. Si tu as lu, tu as dû t'apercevoir que je l''ai construite pour la vérifier, employant l'écriture décimale de position qui a, je crois, c'est sa puissance, l'avantage de nous permettre d'écrire tous les nombres avec  dix chiffres à notre disposition, et ce à l'infini, bien ordonnés, et même dénombrés. Je l'ai même faite en base deux, disons avec l'écriture bicimale de position.
    Dans un tableau où l'on est sensé avoir copiés les réels écrits avec les 10 chiffres de 0 à 9 , peut-on employer cette écriture ? la diagonale coupant les lignes à un rang appelé n, tous les nombres à n chiffres, ou tout au moins les dix possédant les n-1 chiffres de la diagonale complétés par chacun des dix chiffres pouvant leur être joints pour en avoir n, doivent-ils être représentés tous à cette seule ligne, et seulement là ? l'exclusion du nombre aux n chiffres de la diagonale, est-ce pour cet endroit seul, ou quelque soit l'endroit où il se trouve? Il est pourtant dit dans l'explication de cette diagonale que ce chiffre ne peut être là parce qu'un autre y est déjà. Si cela était, ce n'est plus de la mathématique, ce n'est plus une démonstration, mais un passage en force.
   Pour ce qui est de la mise en bijection des R[0,1[ et des N, je ne fais qu'employer la technique donnée par E.Kamke dans mon livre pour expliquer la dénombrabilité des nombres rationnels.( photocopie dans le document joint le 23/11/2018)J'ai d'ailleurs vu cette technique aussi dans plusieurs sites. (De l'infini dénombrable au continu)
     Pour ce qui est du tableau des Réels Dattier m'a déjà opposé le fait que les entiers n'ont pas de chiffres infinis,j'ai exprimé pourquoi, avec mon tableau, je suis mal à l'aise avec cette affirmation.( le 14/11/2018). Autre raison, peut-être que écrire des décimales à l'infini ne donnera pas un réel à écriture décimale infinie, donc pas les irrationnels ni les transcendants, même si je peux suivre leurs constructions chiffre après chiffre.Autre conséquence, la diagonale de Cantor et son tableau ne sont pas écrits avec les réels, mais avec ce que j'ai appelé R simplifié. Il leur manque donc déjà des nombres, mais pas  pour les raisons expliquées avec la diagonale.
      Je reviens donc à la diagonale, et en particulier à ma proposition de l'utiliser avec la base 2, en se servant de l’écriture "bicimale" pour créer ces nombres. Certes on me met gentiment à la porte, c'est peut-être mieux, mais j'aimerais que parmi les lecteurs de ces échanges quelques uns la testent et indiquent leurs observations. Ai-je rêvé ? Que m'a-t'il échappé pour que les nombres impossibles  se découvrent dans le tableau continué ?
Merci

Bonjour

     J'ai répondu aux envois précédents dans un dossier joint, ayant par erreur perdu deux fois le texte que j'avais tapé au moment de la prévisualisation, cela m'évitait, en cas de fausse manœuvre, de tout perdre une nouvelle fois.  Comme je voulais finir, j'ai été vite et j'ai commis quelques imprécisions:
page 1 : procédé de la numération décimale de position, procédé simple  qui permet de construire tous les nombres appliqué à la base 2
page 3: les nombres du tableau..... pour certains d'entre eux, les nombres à écriture décimale finie, nous devons faire appel aux  0 inactifs

   Veuillez m'excuser.

Bonne journée à tous

https://www.cjoint.com/c/IAvp0T7gkmK

Bonjour à tous

     C'est ce que j'ai soulevé comme question dans le deuxième document joint du 23/11/2018, Cantor et... Cantor, à la page 2, dans le paragraphe "Est-ce possible ? Je m'étais ensuite complètement fourvoyé avec les nombres décadiques.
     C'est dommage, quand je regarde mon tableau, la construction en parallèle des nombres de [0,1[ et celle des naturels, je me demande quand aura lieu la bifurcation, celle qui mènera les décimales de [0,1[ à l'infini avec une infinité de chiffres, et les naturels à l'infini avec un nombre limité de chiffres.
     Les sous-groupes, créés à partir des nombres de [0,1[ classés selon leur nombre de décimales, utilisent l'ordre des naturels pour être nommés. Ils sont logiquement mis en bijection de type 1 ( voir premier dossier du 23/11/ ) avec ces derniers, référence des ensembles infinis dénombrables.
   " L'ultime sous-groupe" (?!?) se trouve repoussé à l’infini, comme l'entier dont il porte le nom. Ce nom est aussi celui du nombre de décimales de ces nombres ultimes, décimales en quantité reconnue pour ces nombres  infinie.Le nom du sous-groupe ultime, le nom du nombre de chiffres des nombres ultimes décimaux, reconnu être  l'infini, le nom de l'entier qui sert à nommer ce sous-groupe étant  les mêmes, le nom de l'entier doit donc se construire avec une infinité de chiffres...
     Cette phrase est compliquée, j'espère que j'arrive à la faire comprendre.
   Suite à l’article Cantor et Cantor précité je pensais que la faille était dans l'écriture infinie des entiers, mais sans une suite infinie de chiffres.
   Plus simplement, les naturels et leur infini servent à écrire les décimales des nombres de [0,1[, (voir dossier 1 du 23/11/ )si ces décimales sont écrites avec une infinité de chiffres , alors les entiers doivent eux aussi posséder cette infinité , sinon, où s'arrête cette construction en parallèle?
   Je suis peut-être ici dans l'attitude de celui qui refuse de voir son erreur. C'est possible, bien que ce que j'écris, même si c'est peut-être mal exprimé, me semble vrai. J'ai cherché la démonstration de cette affirmation: les réels peuvent avoir une infinité de décimales, les entiers sont en nombre infini mais ne peuvent avoir une infinité de chiffres, je n'ai rien trouvé.
   Et puis il y a la diagonale de Cantor, dont je pense qu'elle est une erreur. Cantor en était-il conscient ?  J'ai lu qu'il avait fait sa diagonale avec les nombres de la base 2. Cela n'empêche pas la présence de 0 inactifs si, lors de la construction du tableau on écrit les nombres  logiquement à partir de leur nombre de "bicimales" afin de n'oublier aucun des réels  que ce tableau est supposé contenir.La démonstration de l'erreur reste donc la même.
     Autre construction dont le but est peut-être aussi de ne pas introduire les 0 inactifs, (preuve que l'auteur a conscience certainement de ne pouvoir construire une diagonale qui réponde à ce qu'il veut prouver en utilisant la forme classique ) celle qui consiste à construire ainsi le tableau à double entrée.( voir le document joint plus clair que mes discours.)
     https://www.cjoint.com/c/IAojcZxFfQm
    Voici une habile façon d'éviter les 0 inactifs, le tableau est submergé de 9 actifs en place des 0 inactifs, je ne suis pas sûr que cela rende ma démonstration caduque, je ne cherche pas, je ne comprends pas  cette façon de remplacer 0,5 par exemple par 0,4999... Remplacer 0,499 par 0,5 est une approche intéressante pour les calculs,0,499... étant une approche par défaut et 0,5 une approche par excès, mais remplacer 0,5 bien défini sur la droite des nombres  par 0,499... est une approche par défaut inutile. J'ai eu le Plaisir de trouver cette idée d'approche qui rejoint celle de valeur par excès ou par défaut de mes années scolaires dans le site  "images des maths", café des maths, la somme des entiers, du 5 juillet 2017, du CNRS. Cette référence ne doit pas être la pire.
     Puisque je refuse 0,333...comme représentant 1/3, mais étant une approche par défaut, je ne peux dire que l'écriture de R sous la forme de décimales soit complète, mais qu'elle n’est qu'une version simplifiée, la plus  employée.( voir Vc17 pages 15 et 16, dossier joint le 26/11/2018. La dénombrabilité que j'ai jointe des nombres rationnels par Cantor me semble plus complète, car comme je le démontre dans le deuxième dossier du 23/11/ s'y trouvent les nombres rationnels de [0,1[ et aussi  les nombres à écriture décimale du même espace.[0,1[ simplifié.

Conclusion: Pour moi: [0,1[ simplifié aux nombres à écriture décimale est dénombrable, et les entiers peuvent s'écrire avec des chiffres qui se continuent à l'infini( par construction).
        La démonstration par Cantor de la dénombrabilité des nombres rationnels démontre aussi cette dénombrabilité de [0,1[ simplifié. Il démontre donc plus que moi mais n'en parle pas.
     La diagonale est une erreur telle qu'elle est exprimée classiquement, et je pense confirmée par Cantor et sa démonstration des rationnels élargie à [0,1[.
Question: Cela ne remettrait-il pas en cause certains classements d'infinis ?
Merci à tous ceux qui me lisent avec une certaine attention.

Argument classique, auquel j'ai cru longtemps avant de classer les réels par leur nombre de décimales, ce n+1 se trouvant soit dans le même groupe mais au-dessus, soit dans le sous-groupe supérieur, comme tu dis  ceci pouvant se continuer sans fin...  As-tu lu ce que je propose et as-tu essayé de comprendre ?

Salut
Je vois que toi aussi tu éprouves quelques difficultés à trouver un nombre créé à partir de la diagonale qui ne soit pas dans ma liste. Quand penses-tu se fait ce passage qui permet à la diagonale d'exprimer des nombres à écriture décimale infinie et qui ne le permet pas à mes listes.
J'avais vu la video sur la puissance du continu, j'en avais vu une autre un peu semblable mais moins rapide, c'est pour moi important, je n'y trouve rien qui remette en cause ma démonstration, bien au contraire j'y ai vu enfiler des étiquettes sans fin pour parler d'un infini dénombrable, pas beaucoup moins ni  plus convaincant que mon procédé, ça relève du même procédé qui consiste à mettre un train sur les rails et à laisser l'esprit continuer le voyage.

Bonne soirée à tous

Derrière les d11 , d1[sup]2[/sup ,d2[sup]3[/sup, d3[sup]5[/sup,....

Illisible.

Merci Yoshi,ce n'est pas Michel Coste comme je le pensais qui a écrit ces nombres mais bien Wiwawia le 2 07 2018, à part que, pour lui, les indices et les exposants sont bien écrits.

Les réels sont bien composés de nombres finis et non finis ?
p7^mm7p^
J'aurais dû écrire: les nombres réels sont bien composés de nombres dont l'écriture décimale est finie ou non finie ?

l'entier qui lui est associé par bijection dans ma construction: ...(3).

Je cherchais comment écrire les nombres entiers à l' infini, j'avais pensé utiliser les conventions employées pour les décimaux à écriture décimale infinie périodique et était content d'avoir ensuite découvert cette écriture des nombres decadiques qui confortait mon intuition. J'en parle d'ailleurs dans le deuxième document joint le 23/11 . Si vous le lisez vous vous apercevrez que je me suis totalement trompé sur le sens à donner à la phrase qui les introduisait : des nombres qui s'écrivent avec une infinité de chiffres à gauche de la virgule.
.

         Pour la diagonale je comprends la construction, je comprends et suis d'accord avec la première conclusion: ce nombre créé à l'instant t n'existe pas dans le tableau à ce moment là ni avant, mais je ne comprends pas la déduction qui suit.

Que vient faire cette histoire f'instant t ?
Quelle déduction qui suit ?

     Pour la démonstration de Cantor qui nous intéresse il y a un tableau rempli de nombres réels de [0,1[,deux diagonales, la diagonale 1 qui  se crée case par case avec les chiffres du tableau qu'elle croise, une autre, la diagonale 2 que l'on crée case par case à partir de la première diagonale. L'instant t est le moment où l'on écrit dans la diagonale 2 le chiffre  choisi parmi les 8 qui sont à notre disposition, le
chiffre que la règle nous impose dans l'exemple de freddy, 0 excepté je crois (certainement parce qu' un 0 je pense  appliqué à la fin d'une partie décimale devient un 0 inactif ). Bien sûr cet instant se renouvelle à chaque nouvelle case remplie.
    La deuxième déduction est celle qui consiste à dire que ce nombre créé n'existe pas dans la suite du tableau.

     À partir du moment où une liste de "nombres réels calculables" est elle-même calculable (si on tient à la calculabilité, il faut être cohérent, et Larac prétend que tout un chacun peut calculer cette liste, n'est-ce-pas), l'argument diagonal de Cantor montre qu'elle ne peut pas lister tous les réels calculables.

      Je suis un non initié et je n'ai certainement pas dit cela de cette façon, ne connaissant pas ce langage.   Je n'ai jamais caché que je n'étais pas mathématicien, que je savais peu de choses, mais que cette découverte fortuite, avec le peu que je sais m'a paru étrange par rapport à ce que je me souvenais des ensembles R et N. J'ai dans un premier temps cherché, demandé autour de moi  où était mon erreur, puis écrit dans ce forum attendant une réponse à partir de ce que j'ai fait, avec une explication sur ce que j'ai fait, pas sur des démonstrations qui me disent que c'est impossible mais ne me disent pas où est mon erreur dans mon travail.
J'ai posé des questions sur la diagonale pour voir si je l'ai bien comprise, si j'ai bien compris ce que  peut contenir le tableau, par exemple si il contient bien des nombres réels à écriture décimale finie ou pas.
       A ceux qui en douteraient je ne cherche ni à démontrer la quadrature du cercle ni .....;   je partage ce que j'ai découvert, ceux qui sont intéressés lisent ce que j'ai écrit et essaie de le comprendre, de le critiquer à partir de lui même. Je remercie en particulier Yoshi, Wiwawia, Dattier qui ont je pense fait cet effort, même s'ils me disent qu'ils ne sont pas d'accord.
    Souviens-toi, Yoshi, quand j'avais demandé de se mettre face à mon travail, en oubliant, j'avais dit alors les préjugés, ce qui nétait pas un terme habile, peut-être en oubliant ses connaissances  sur ce sujet, en ne voyant que la démonstration.
     
        Dattier, je n'oublie pas de te répondre, donne moi encore quelque temps.

Merci à tous, j'espère avoir une réponse à mes questions,  et bonne journée

Bonjour à tous, et merci de votre patience à vouloir m'expliquer, désolé si je n'arrive pas encore à comprendre mon (ou mes) erreur(s).
     J'ai déjà vu cette démonstration, elle ressemble d'après ce que j'ai lu à la première démonstration de Cantor, personnellement, quoique j'en pense, je préfère la seconde, plus générale et avec un aspect un peu magique et encore plus déconcertant devant sa logique d'apparence implacable.
     Je ne considère pas les nombres ayant une infinité de décimales...Ce qui est vrai c'est que je n'écris que des nombres finis, qui se continuent avec un procédé de création logique et très simple, à l'infini. Je ne pense pas qu' on puisse créer autrement ces nombres par la combinaison, pour passer d'un rang ou sous-groupe dans mon exposé Vc17 page 7 au rang ou sous-groupe suivant, de chaque nombre du premier sous-groupe avec chacun des dix chiffres à notre portée, même à l'infini. Je peux cependant, avec un procédé d'écriture conventionnelle, écrire un de ces nombres : 0,[3]... et l'entier qui lui est associé par bijection dans ma construction: ...(3).
     Pour la diagonale je comprends la construction, je comprends et suis d'accord avec la première conclusion: ce nombre créé à l'instant t n'existe pas dans le tableau à ce moment là ni avant, mais je ne comprends pas la déduction qui suit. 
Questions:
Les nombres du tableau de la diagonale sont bien des réels, tous si possible, et si possible écrits d'une manière dénombrable ?
Les réels sont bien composés de nombres finis et non finis ?
Derrière les d₁¹ , d₁[sup]2[/sup ,d₂[sup]3[/sup, d₃[sup]5[/sup,.... de ta démonstration se retrouvent bien chaque fois un des dix chiffres à notre disposition pour créer les nombres?
Bonne journée à tous.

https://www.cjoint.com/c/HKAkZzagaUA

Bonjour
     Mes connaissances sont maigres, et de plus j'en ai oubliées pas mal au long des années. Je n'ai jamais directement cherché cette démonstration, je n'ai simplement cherché qu'à découvrir des sous-ensembles de R écrits de manière décimale qui soient dénombrables, utilisant ce qui était à ma portée, la bijection, B.A.BA de la théorie des ensembles, et la technique classique pour démontrer qu'un ensemble est dénombrable: un ensemble infini E est dit dénombrable si et seulement s'il peut être mis sous le forme d'une suite {m1,m2,m3,...} c'est-à-dire si on peut faire correspondre, par un procédé bien défini, à chaque élément m de l'ensemble E un nombre naturel et un seul et à chaque nombre naturel un élément m et un seul de l'ensemble E.
Ce procédé emprunté à mon livre référence cité lors d'une précédente intervention ne peut je pense pas être accusé d'être non-scientifique. et puis, il y a eu cette surprise, [0,1[ pouvait être mis en bijection avec N. ( condition: que l'écriture avec des décimales puisse représenter R ). J'ai poursuivi, pour ceux qui veulent bien prendre la peine de lire et de comprendre ma prose, en émettant des critiques, des objections, des compléments à ma démonstration.
     Découvrir récemment que Cantor avait, dans sa démonstration de la dénombrabilité des rationnels, prouvé sans en faire la remarque la même chose que moi, mon premier tableau (Vc17 page 9 ) pouvant être créé à partir de sa recherche, à été pour moi une nouvelle surprise.
     Je reconnais donc que ma démonstration est très simple.
         simple n'est pas synonyme de faux, il n'est pas non plus synonyme de valable. Comme c'est très simple c'est facile à comprendre et ce doit être rapide pour des spécialistes. Je comprends que l'on puisse penser perdre du temps en lisant mon travail, je ne comprends pas que l'on puisse dire que c'est faux sans le lire, en se retranchant simplement derrière la diagonale de Cantor ou le forcing de Cohen.
    Pour ceux qui doutent de la possibilité de validité de ma démonstration, je leur propose ce que j'avais proposé au début de nos échanges: choisissez des nombres sous la forme d'une écriture décimale de [0,1[, découvrez à partir de mon deuxième tableau ( Vc17 page 14 , le plus simple à utiliser), les nombres N qui leur sont associés,(un pour un), puis, comme l'on parle de bijection, testez à partir de quelques entiers , les nombres de [0,1[ qui leur sont associés ( un pour un). Autre question: se peut-il que des nombres à écriture décimale puissent échapper à ma liste avec la façon de les construire? Non.
     La poursuite de mes réflexions m'a conduit à découvrir les bijections que j'ai appelées de type 1 ou de type 2, qui me semblent s'appliquer l'une aux ensembles équivalents, l'autre  peut-être à ce que Cantor appelait les ensembles équipotents.
      Certes je n'ai pas la concision des spécialistes, je ne possède pas leur langage, ce n'est la preuve que mes démonstrations soient non valables. Je me répète, testez mon travail.
  Bonne journée à tous, tolérance  et bonne recherche si vous le désirez.

https://www.cjoint.com/c/HGumD0hyHG0

Bonjour à tous

lorsque j'observe tous les nombres réels de [O,1[ il me semble logique d'y voir  des nombres écrits avec une décimale active, 2 décimales, 3 décimales ..... une infinité de décimales. Ceci correspond à la création de l'échelle des nombres en base dix, voir page 29 de Vc16 du 13/07.
il m'est facile de connaitre le nombre à 0 décimale, 0  (sous- groupe 0) de ma suite page 7 et 9.
je connais les nombres à 1 décimale (les dixièmes): (sous-groupe 1)
0,0  est mis de côté, le 0 des dixièmes étant inactif mais pouvant devenir actif aux ordres suivants
  0,1               0,2               0,3               0,4      ...........                   0,9
puis les nombres à 2 décimales ( les dixièmes et centièmes)( sous-groupe 2) en combinant chaque nombre du sous-groupe 1 avec les dix chiffres possibles au groupe 2
0,0 associé aux dix chiffres:
0,00 mis de côté ...
0,01          0,02          0,03           0,04          .........         0,09
0,1 combiné avec les dix chiffres possibles:
0,10 existant déjà sous la forme 0,1 dans le sous-groupe 1
0,11          0,12          0,13          ..............                       0,19
0,2 combiné avec les dix chiffres possibles:
0,20 existant déjà sous la forme 0,2 dans le sous-groupe 1
0,21          0,22           0,23           ............                        0,29
et ainsi de suite jusqu'à 0,99
puis avec les sous-groupes 3, 4, .......   infini
ce mode de création est finalement aussi celui pratiqué dans diagonale2 deuxième partie, il permet de créer l'ensemble des réels de [0,1[ considéré comme  un ensemble de nombres à écriture décimale, avec 0 pour nombre des unités, et l'ensemble des décimales possibles poussé à l'infini sans "trou". Cet ensemble de décimales peut-être répété avec chaque entier positifs ou négatifs pour créer l'ensemble des réels.
" en général un ensemble infini E est dit dénombrable si et seulement s'il peut être mis sous la forme d'une suite {m₁, m₂, m₃ ....}c'est à dire si on peut faire correspondre, par un procédé bien défini, à chaque élément m de l'ensemble E un nombre naturel et un seul et à chaque nombre naturel un élément m et un seul de l'ensemble E, c'est ce que j'ai fait page 7,14 et 15.
  Cette suite est la première que j'ai proposée.
  Ayant remarqué la similitude de création avec N, j'ai pensé me servir directement de N pour recréer une suite avec les mêmes nombres à écriture décimale, mais en jouant sur les 0 actifs, inactifs puis réactivés en les positionnant juste derrière la virgule chez les décimaux.C'est ma deuxième suite page 14, ou la bijection suit l'ordre des Naturels et permet de trouver facilement le rang de chaque élément de [0,1[. Ici encore les décimales peuvent être ajoutées à n'importe quel entier positif ou négatif pour créer l'ensemble des réels.
   Ceci peut paraitre trop facile mais, comme je respecte la création de l'échelle des nombres à écriture décimale je ne dois pas être trop loin de la vérité. ( voir page 29 de Vc16.)
  Merci à tous ceux qui m'ont lu et particulièrement Yoshi, j'essaierai de comprendre les documents qu'il me conseille de lire, pour l'instant c'est surtout le second (gargantua) qui me parait le plus clair.

erreur dans le fichier joint, veuillez lire s'il vous plait en bas de la première page :Mon tableau est composé de tous les nombres Naturels dès le départ.

mille excuses auprès de Tibo j'ai oublié ma réponse à sa question. J'utilise ma deuxième suite.
1313 :  a-  Ce nombre ne fait pas partie de la famille 0, mais de la famille 1313 ( [1313,1314[  )
                 Dans cette famille il a le rang 0
            b- Ce nombre est l'expression des décimales de  0,1313     il fait partie  de [0,1[, il a le 1313 ^ième rang, en bijection avec le Naturel 1313.

                Avec la troisième suite il aurait le rang 3131.

réponse à Yoshi et Wiwaxia
          1- Je remercie beaucoup Yoshi qui me pousse dans mes retranchements et me force à aller vérifier dans ma ''bible des ensembles '' ( théorie des ensembles , E.Kamke, prof de math à l'Université de Tubingen - monographie Dunod- dépôt légal 4ième trimestre 1963-  il y a longtemps donc, mais je pense que ce que j'y trouve est toujours valable ). J'y trouve, pge 26, tous les ensembles dénombrables sont équivalents, mais il n'équivalent à aucun ensemble fini donc:    si l'ensemble des décimaux positifs est dénombrable il est équivalent à Q.
  Donc, premier acquis, ma suite est bien une suite infinie, équivalente à N et à Q entre autres, et dénombrable.
         2-  Je me sers de la deuxième suite pge 14 de mon envoi, la première servant surtout à présenter le principe de construction des décimales, sans en oublier un nombre; ceux qui se glissent entre deux s'écrivent dans les sous-groupes de rangs supérieurs.
2/7 = 0,28571428571428....
0,285714 est un nombre décimal et rationnel
0,28571428571428....  est un nombre rationnel non décimal.
Ma liste se continuant à l'infini, cette écriture  ( puisqu'aucun nombre écrit avec les 10 chiffres possibles en écriture décimale ne peut échapper à ma liste, ou alors il faut reconnaitre des ''trous'' dans l'écriture des naturels qui se bâtît sur le même principe) se rencontre dans le sous-groupe 'infini', on peut étendre peut-être son écriture 0,285714 avec un trait horizontal au-dessus de 285714 aux naturels, ce qui indique alors le rang de 2/7.
    de même dans la famille 1 (pg 5 de mon envoi ) , racine carrée de 2  s'écrit sous la forme 1,4144213562373095..., le rang de ce nombre étant le dans le sous-groupe infini, rang indiqué par les décimales avec suspension.
    Pour pi, je crois l'avoir déjà indiqué.
A lire vos remarques.