Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Je cherche à résoudre le problème suivant. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît. On considère l'ensemble des fonctions $x \mapsto ax^2+bx+c$ ayant leurs valeurs absolues inférieures à 1 pour $\left| x \right| \leq 1.$ Il faut démontrer que  :
a) pour $a>0,$ si $\left| x \right| \geq 1$ alors $ax^2+bx+c \leq 2x^2-1$ ;
b) toutes les valeurs de la fonction $x \mapsto cx^2+bx+a$ sont inférieures à 2 en valeur absolue pour $\left| x \right| \leq 1.$
Si j'admets le résultat de la question a), c'est assez "direct" en factorisant $ax^2+bx+c$ par $x^2$ (ça fait apparaître la fonction du b) avec le changement de variable $x' = \frac{1}{x}$) et en remarquant que  $\left| x \right| \geq 1 \Leftrightarrow \left| \frac{1}{x} \right| \leq 1.$ Par contre, je bloque sur le a).

Bonjour,
Pourriez vous m'aider à résoudre le problème suivant. Je cherche à prouver que [tex]\tan(x)[/tex] est convexe sur [tex]{\displaystyle \left[0, {{\pi}\over{2}}\right[}[/tex] avec l'inégalité :
[tex]{\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.} [/tex]
Je précise que je sais qu'on peut utiliser le signe de la dérivée seconde de [tex]\tan(x)[/tex] ; d'ailleurs, c'est assez facile de prouver la convexité de [tex]\tan(x)[/tex] avec ça ; mais il faut impérativement utiliser l'inégalité entre les valeurs moyennes ci-dessus.
Pour l'instant, j'ai choisi de poser [tex]{\displaystyle u = \tan\left(\frac{a}{2}\right)}[/tex] et [tex]{\displaystyle v = \tan\left(\frac{b}{2}\right)}[/tex]. Dans ce cas, j'obtiens avec les identités trignométriques :
[tex]{\displaystyle \frac{u+v}{1-uv} \leq \frac{u}{1-u^2} + \frac{v}{1-v^2}}[/tex] avec [tex]u, v \in [0, 1[[/tex].
Là, on remarque que pour [tex]u = v[/tex], il y a égalité ; donc quitte à permuter [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex], on peut supposer que [tex]u < v[/tex]. En partant de [tex]u < v[/tex], j'obtiens après différentes opérations :
[tex]{\displaystyle \frac{u}{1-u^2} \leq \frac{u}{1-uv} \leq \frac{v}{1-uv} \leq \frac{v}{1-v^2}.}[/tex]
Mais ensuite, je coince.

Bonjour,

Les cases d'un échiquier $n \times n$ sont coloriées alternativement en rouge, bleu et vert de la façon suivante : chaque case rouge est à côté¹ d'une case bleue ; chaque case bleue est à côté d'une case verte ; chaque case verte est à côté d'une case rouge. En notant $r, b, v$ les nombres de cases rouges, bleues et vertes respectivement, montrer que :

$\bullet\ r \leq 3b, b \leq 3v, v \leq 3r\ ;$

$\bullet\ r \leq b + 4v, b \leq v + 4r, v \leq r + 4b.$

Le premier point est assez facile à prouver. Par exemple, pour la première inégalité, on peut avoir une case bleue au centre et autour d'elle trois cases rouges et une case verte (voir pièce jointe). Donc potentiellement, il peut y avoir trois fois plus de cases rouges que de cases bleues.

Par contre, je ne vois pas comment prouver le second point ($\ r \leq b + 4v, b \leq v + 4r, v \leq r + 4b$).

¹ : deux cases son "à côté" signifie que ces cases ont un côté commun.