Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Bon, je donne une solution car la discussion commence à être sérieusement polluée !

Nous nous sommes ramener à résoudre $y^2\equiv 24 \, [115]$ (voir post 6).

Les solutions de $a^2\equiv 24 \, [5]$ sont $a\equiv 2 \, [5]$ et $a\equiv 3 \, [5]$.

Celles de $b^2\equiv 24 \, [23]$ sont $b\equiv 1 \, [23]$ et $b\equiv -1 \, [23]$.

On remarque que si on a $23u+5v\equiv 1 \, [115]$ (ce qui est le cas avec $u=2$ et $v=-9$) alors $y=23au+5bv$ sera une solution de notre problème ($y^2\equiv 24 \, [115]$) dès lors que $a$ et $b$ seront choisi comme ci-dessus (le vérifier !).

On a donc 4 cas possibles :

$a=2$ et $b=1$ pour lesquels on obtient $y \equiv 47 \, [115]$
$a=2$ et $b=-1$ pour lesquels on obtient $y \equiv 22 \, [115]$
$a=3$ et $b=1$ pour lesquels on obtient $y \equiv 93 \, [115]$
$a=3$ et $b=-1$ pour lesquels on obtient $y \equiv 68 \, [115]$

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation $y^2\equiv 24 \, [115]$ est l'ensemble
$$\mathcal S = \{47, 22, 93, 68\} \, [115].$$

Remarque : le nombre de solution de P(X)=0 n'est pas nécessairement inférieur ou égal au degré du polynôme lorsque l'on travaille sur un anneau non intègre comme c'est le cas ici ($\mathbb Z/115\mathbb Z$). Regarde par exemple, à la main, le nombre de solution de l'équation $X^2=X$ modulo $6$...

Roro.

bonjour Roro et oudjira voici la solution que je propose pour cette équation
partant de cette équation: [tex](x+59)^2 \equiv 24 [115] [/tex]
voici ce que je propose or [tex] 115 = 5*23 [/tex] ce qui implique a dire que
[tex](x+59)^2 \equiv 24 [5]  [/tex] et [tex](x+59)^2 \equiv 24 [23]  [/tex]or d'après la propriété des congruences
[tex]24 \equiv 4[5] et 24 \equiv 1[23] [/tex] implique à dire que:
[tex](x+59)^2 \equiv 4 [5]  [/tex]et [tex](x+59)^2\equiv 1 [23] [/tex] ce qui nous donne après calcule
le résultat suivant:

[tex]x \equiv -59\underset{-}{+}2[5] [/tex] et
[tex] x \equiv -59\underset{-}{+}1[23][/tex]

et par la suite nous pouvons maintenant utilisé le théorème des restes
chinois pour recoudre ce système d'équation puisque les nombres 5 et 23 sont premiers entre eux.
svp si j'ai fais une erreur quelque part rectifié moi. merci bien.

Bonjour,

Tu auras sans doute remarquer que $115=5\times 23$ (décomposition en nombre premier).
Il faut donc dans un premier temps résoudre $x^2+3x+7\equiv 0 [5]$ puis $x^2+3x+7\equiv 0 [23]$, tu utiliseras le théorème des restes chinois pour combiner ces solutions...

Pour résoudre, par exemple $x^2+3x+7\equiv 0 [5]$, tu peux écrire de façon équivalente
$$x^2-2x+7\equiv 0 [5]$$
$$(x^2-1)^2+6\equiv 0 [5]$$
$$(x^2-1)^2\equiv -1 [5]$$
Je te laisse nous dire ce que tu en penses et si tu arrives à terminer !

Roro.

P.S. ça fait bien longtemps que j'ai fait ce genre de chose alors il y en peut être (sans doute) d'autres méthodes...