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2) oui c'est ça, c'est à cause du fait que les termes sont positifs (chose à dire quasi à chaque fois lorsque tu utilises ces théorèmes, car ça peut être un piège d'un examinateur).
1) Pourquoi c'est le plus simple ? Car ici, nous avons une fraction dont on voit tout de suite les équivalents et donc on peut conclure quasiment tout de suite. De plus, utiliser les équivalents permet de réduire de façon significative une expression qui à l'air de prime abord pas simple. Comment savoir ? Si tu vois une fraction ou des multiplications de termes, il faut sauter dessus, parce que les équivalents fonctionnent très bien avec ce type d'opération ( attention aux sommes ! ).

3) pourquoi l'équivalent est de ce type : il suffit de regarder ton expression : détermine l'équivalent du numérateur et celui du dénominateur et tu verras que c'est de ce type (ce qui t'arrange beaucoup ! ).

4)oui mais le problème avec ta méthode c'est que le deuxième terme [tex]\frac{n^{2}}{(2n+1)^{3}}[/tex] n'a pas une série convergente... donc ce n'est pas forcément une bonne idée de séparer les fractions... en sachant de plus que tu ne peux pas additionner les équivalents...donc ce n'est pas franchement une bonne piste. (si tu n'es pas convaincu, écris moi proprement ta démonstration du début à la fin et je te dirais précisément ce qui ne va pas).

Alors il faut donc s'intéresser à [tex] u_{n}=\frac{n^{2}+1}{(2n+1)^{3}}[/tex].
La méthode la plus simple et la pus rapide dans ce cas c'est les équivalents : pourquoi as-tu le droit ? (je te laisse y répondre)
Donc l'équivalent de cette suite sera du type [tex]n^{\alpha}[/tex]. Donc cela va être à rapprocher d'une série de Riemann.

Pour ta méthode : si j'ai bien compris tu souhaitais transformer [tex]u_{n}=\frac{n^2}{(2n+1)^{3}}+\frac{1}{(2n+1)^{3}}[/tex]. Et ensuite que voulais-tu faire ? (Rappel :la somme d'équivalent est interdit).