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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- tina
- 15-11-2016 18:48:19
C'est compris! Merci beaucoup
- Yassine
- 15-11-2016 13:53:42
Pour montrer que $f_n \to \delta$, on fait comme suit:
Soit $\varphi$ fonction test, on calcule :
$\begin{align*}
|\langle f_n, \varphi \rangle - \langle \delta, \varphi \rangle| &= |\int_{\Omega} f_n(x)\varphi(x)dx - \varphi(0)| \\
&= |\int_{\Omega} f_n(x)\varphi(x)dx - \varphi(0) \int_{\Omega} f_n(x)dx| \\
&= |\int_{\Omega} f_n(x)(\varphi(x) - \varphi(0))dx| \\
&\le \int_{\Omega} |f_n(x)| |\varphi(x) - \varphi(0)|dx
\end{align*}$
le terme $|\varphi(x) - \varphi(0)|$ peut être facilement majorée par $M\varepsilon_n$ (accroissement finis), on aurait alors
$|\langle f_n, \varphi \rangle - \langle \delta, \varphi \rangle| \le M\varepsilon_n\int_{\Omega} |f_n(x)|dx$.
On se retrouve coincé à ce stade si on a pas la positivité de $f_n$, parce que le fait que $\int_{\Omega} f_n(x)dx = 1$ ne permet de tirer aucune conclusion sur $\int_{\Omega}|f_n(x)|dx$.
- tina
- 15-11-2016 12:20:40
Bonjour,
j'ai le théorème suivant:
Soit
[tex]f_j \in L_{loc}(\mathbb{R}^n)[/tex] telle que
[tex]Supp f_j \subset B(0,\epsilon_j)[/tex] avec [tex]\epsilon_j \to 0.[/tex]
[tex]\forall j: \displaystyle\int_{\mathbb{R^n}} f_j(x) dx = 1[/tex]
[tex]\forall j: f_j \geq 0[/tex].
Alors [tex]f_j \to \delta [/tex] dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)[/tex]
Ma question est: pourquoi est-ce que la condition
[tex]\forall j: f_j \geq 0[/tex]
est nécessaire dans ce théorème?
Je vpous remercie par avance.