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Mouhcine · 17-10-2015 19:12:46

Ok, merci beaucoup Fred

Fred · 17-10-2015 17:21:18

Si ton calcul pour l'intégration par parties est correct le reste l'est. Et comme le résultat que tu trouves est simple j'ai plutôt l'impression que ça doit être correct.

Mouhcine · 17-10-2015 10:56:53

Bonjour Fred, pour [tex]f(x) = (\pi /\sqrt{z}) \, e^{- \sqrt{z}\vert x\vert}[/tex] et [tex]\varphi[/tex] à support compact sur [tex]\mathbb R[/tex], j'ai fait le calcul, j'ai trouvé
. [tex]\langle f,\varphi''\rangle = -2\pi \varphi(0) + \langle zf,\varphi\rangle [/tex];
Et puisque
[tex]\begin{align}
\langle -f''+z f,\varphi\rangle &= - \langle f'',\varphi\rangle + \langle z f,\varphi\rangle = - \langle f,\varphi ''\rangle + \langle z f,\varphi\rangle\\
&= -\left(-2\pi \varphi(0) + \langle zf,\varphi\rangle \right) + \langle z f,\varphi\rangle = 2\pi \varphi(0) - \langle zf,\varphi\rangle + \langle zf,\varphi \rangle\\
&= 2\pi \varphi(0) = 2\pi \langle {\delta}, \varphi\rangle.
\end{align} [/tex]
Donc au sens de distribution on a [tex] -f''+z f = 2\pi \delta[/tex], où [tex]\delta[/tex] est la distribution de Dirac.
C'est bon ?

Fred · 17-10-2015 09:14:09

Tu peux calculer
[tex]\langle f,\varphi''\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\pi}{\sqrt z}e^{-\sqrt z|x|}\varphi''(x)dx=\int_{-\infty}^0\frac{\pi}{\sqrt z}e^{+\sqrt z x}\varphi''(x)dx+\int_0^{+\infty}\frac{\pi}{\sqrt z}e^{-\sqrt zx}\varphi''(x)dx.[/tex]
Dans chaque intégrale, tu peux ensuite faire une double intégration par parties pour remplacer [tex]\varphi''[/tex] par [tex]\varphi[/tex]. En recollant ensuite tout, tu trouveras une fonction [tex]g[/tex] telle que [tex]\langle -zf''+f,\varphi\rangle=\langle g,\varphi\rangle[/tex].

F.

Anonyme007 · 16-10-2015 21:15:45

Salut :

A mon humble avis, ça n'a aucun sens de dire : calculer au sens des distributions [tex] - f'' + z f [/tex], car si cet énoncé avait un sens, il aurait eu aussi un sens, au sens usuel, c'est à dire, calculer au sens usuel [tex] - f'' + z f [/tex]. ce qui n'a aucun sens à mon avis.

Cordialement.

Mouhcine · 16-10-2015 20:27:30

Pardons, je n'ai pas compris!!!

Fred · 16-10-2015 12:43:20

Si on veut aller plus loin il faut couper remplacer f par sa valeur, couper l'intégrale en zéro et faire des intégrations par partie pour se debarraser des dérivées sur [tex]\varphi[/tex]

Mouhcine · 16-10-2015 12:17:13

Et si on connu l'expression de [tex]f[/tex] donnée par [tex]f(x) = (\pi /\sqrt{z}) \, e^{- \sqrt{z}\vert x\vert}[/tex] , à quoi égale donc [tex]-f''+z f[/tex] au sens de distribution? sachant que [tex]\left<-f''+z f,\varphi \right> =\left< f, -\varphi''+z\varphi \right>[/tex] .

Fred · 16-10-2015 11:56:43

Je ne sais pas. Si la question est "calculer...." tu as répondu à la question...

Mouhcine · 16-10-2015 08:26:30

Bonjour Fred, et si on fait le calcule, on a
[tex]\left<-f''+z f,\varphi \right> = \left< -f'',\varphi \right> + \left< z f,\varphi \right> =\left< f,-\varphi'' \right> + \left< f, z\varphi \right> =\left< f, -\varphi''+z\varphi \right>[/tex]
qui ce qu'on peut conclure donc?

Fred · 16-10-2015 07:56:29

Oui c'est cela qu'on te demande de faire.

Mouhcine · 15-10-2015 21:51:29

Bonsoir à tous, signifie quoi, si on demande de calculer [tex]-f''+z f[/tex] au sens de distribution ?
Est ce qu'on va prendre une fonction [tex]\varphi[/tex] à support compact sur [tex]\mathbb R[/tex] et on calcule [tex]<-f''+z f,\varphi> =?[/tex]
Merci d'avance

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