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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 24-02-2015 20:54:47
Ici !
Maintenant, considère [tex]K_2=\{x_n;\ n>p\}\cup\{x\}[/tex] (qui est tout aussi compact)
et donc la suite [tex](f(x_{\phi(n)})[/tex] admet une sous-suite qui converge vers un élément de [tex]f(K_2)[/tex]. Mais elle converge aussi vers [tex]f(x_p)[/tex] qui n'est pas dans [tex]f(K_2)[/tex] puisque la fonction est injective.
- topologie
- 24-02-2015 18:27:46
Ok merci, mais s'il vous plait ou est utilisé l'injectivité de f ?
- Choukos
- 23-02-2015 20:00:58
Salut,
tu peux le montrer en utilisant Borel-Lebesgue :
Soit [tex](O_n)_n[/tex] un recouvrement ouvert de [tex]K_1[/tex], un de ces ouverts contient la limite [tex]x[/tex], disons [tex]O_{n_0}[/tex]. Notons [tex]r_0[/tex] son rayon. A partir d'un certains rangs tous les termes suivants de la suite sont [tex]r_0[/tex] proches de la limite. Notons [tex]x_{k_0}[/tex] un terme de la suite appartenant à [tex]O_{n_0}[/tex].
Il existe un ouvert contenant le premier terme de la suite, il existe un ouvert contenant le second, ...., il existe un ouvert contenant le [tex]k_0-1[/tex]-ème.
On pose le sous-recouvrement composé des ouverts contenant les [tex]k_0-1[/tex] premiers termes union [tex]O_{n_0}[/tex]. C'est un sous-recouvrement fini de [tex](O_n)_n[/tex]. Donc [tex]K_1[/tex] est compact.
- topologie
- 23-02-2015 18:06:34
Merci pour m'avoir répondu, mais pourquoi K_1 est compact il contient la suite et sa limite alors il est fermé mais pourquoi il est compact ? merci
- Fred
- 23-02-2015 13:45:13
Salut,
Je vais en plus considérer une suite [tex](x_n)[/tex] injective et qui n'est jamais égale à x (on peut toujours le faire).
Posons [tex]K_1=\{x_n;\ n\geq 0\}\cup\{x\}[/tex]. Alors [tex]K_1[/tex] est compact.
[tex]f(K_1)[/tex] est compact.
Pour prouver que [tex](f(x_n))[/tex] tend vers [tex]f(x)[/tex], il suffit de prouver que toute suite extraite
[tex](f(x_{\phi(n)})[/tex] qui converge converge vers [tex]f(x)[/tex].
Si ce n'est pas le cas, il en existe une qui converge nécessairement vers un certain [tex]f(x_p)[/tex] puisque [tex]f(K_1)[/tex] est compact.
Maintenant, considère [tex]K_2=\{x_n;\ n>p\}\cup\{x\}[/tex] (qui est tout aussi compact)
et donc la suite [tex](f(x_{\phi(n)})[/tex] admet une sous-suite qui converge vers un élément de [tex]f(K_2)[/tex]. Mais elle converge aussi vers [tex]f(x_p)[/tex] qui n'est pas dans [tex]f(K_2)[/tex] puisque la fonction est injective.
C'est donc que toute suite extraite de [tex](f(x_n))[/tex] converge vers [tex]f(x)[/tex], ce qui suffit à conclure.
Fred.
- topologie
- 23-02-2015 11:13:44
Bonjour, j'ai ce petit exercice:
Soit [tex](E,d), (E',d')[/tex] deux espaces métriques, et [tex]f:E\rightarrow E'[/tex] une fonction injective tel que l'image de tout compact de[tex] E[/tex] est un compact de [tex]E'[/tex], montrer que [tex]f[/tex] est une fonction continue.
la seule idée que j'ai eu est d'utiliser les suite mais je n'arrive pas a bouger, soit [tex](x_n)\subset E[/tex] tel que [tex]x_n\rightarrow x[/tex] et je démontre que [tex]f(x_n) \rightarrow f(x)[/tex] mais je ne sais pas comment utiliser le fait que[tex] f[/tex] est injective et que l'image d'un compact par f est un compact?
Merci d'avance.