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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- freddy
- 21-02-2015 16:09:49
Merci beaucoup pour ce corrigé très détaillé freddy,c'est vraiment sympa :).
Mais c'est pas grave si t'as pas lus,tes réponse sont plus clairs ^^.
Salut,
ce qu'il faut bien que tu comprennes est que les manuels sont très bien faits au plan pédagogique et ce genre de travail donne en réalité le cadre d'une travail méthodique et rigoureux : on commence par regarder graphiquement comment se comporte la suite ; ensuite on en tire quelques conclusions empiriques qu'il va falloir établir rigoureusement (c'est la base de la démarche mathématique : établir un résultat de manière incontestable).
Ce petit travail est emblématique de la méthode qu'on utilise pour étudier la nature de ce type de suite.
Si tous les élèves passaient un peu plus de temps sur leur manuel de maths et se contraignaient à faire ce genre de "travail dirigé", leur moyenne serait augmentée de deux à trois points sans aucun problème.
Si on n'a pas compris ça, on est incapable de suivre des études sérieuses dans le "supérieur".
Courage !
- freddy
- 21-02-2015 15:57:29
Bonjour,
@ freddy : C'est avec plaisir que l'on vous retrouve en forme pour traiter un problème entièrement. :-))
Merci l'ami !
- Joan94
- 19-02-2015 18:18:59
Bonsoir,
question 2 : on peut estimer que la limite doit être 2000
question 3 : [tex]V_{n+1}= U_{n+1}-2000[/tex] et [tex]U_{n+1}=0,5U_n+1000[/tex] donc :
[tex]V_{n+1}=(0,5U_n+1000)-2000=(0,5(V_n+2000)+1000)-2000[/tex] donc :
[tex]V_{n+1}=0,5V_n[/tex] Voila la progression géométrique
Merci totomm :)
- Joan94
- 19-02-2015 18:17:50
Salut,
on va essayer de faire les choses dans l'ordre.
1)[tex] u_n[/tex] est une approximation du nombre d'abonnés à la date[tex] n[/tex] si on suppose que la formule de récurrence qui donne [tex]u_{n+1}[/tex] en fonction de [tex]u_n[/tex] reste stable dans le temps.2) Graphiquement, la suite est décroissante et convergente vers la valeur limite égale à 2.000 abonnés.
3) On pose [tex]v_n=u_n-2.000[/tex]. On a [tex]v_n = \frac12u_{n-1}+1.000-2.000 = \frac12u_{n-1}-1.000 =\frac12(u_{n-1}-2.000)=\frac12v_{n-1}[/tex]
La suite [tex](v_n)[/tex] est donc une suite géométrique, de premier terme [tex]v_0=2.000[/tex] et de raison [tex]q=\frac12[/tex]
On déduit que [tex]v_1=\frac12v_0[/tex], [tex]v_2=\frac12v_1=\left(\frac12\right)^2v_0[/tex], ..., [tex]v_n=\left(\frac12\right)^nv_0[/tex]
Par suite, en revenant à la définition de la suite [tex](v_n)[/tex] , on a[tex] v_n=\left(\frac12\right)^n\times 2.000 = u_n-2.000 \Leftrightarrow u_n= 2.000+2.000\left(\frac12\right)^n[/tex]
4-a) [tex]u_{n+1}-u_n = 2.000\times \left(\frac12\right)^n\times (0,5-1)=-1.000\times \left(\frac12\right)^n[/tex].
4-b) On en déduit que la suite est décroissante et que la différence entre deux termes consécutifs tend progressivement vers 0 au fur et à mesure que n croît. En clair, le journal perd tout le temps des abonnés, mais chaque année de moins en moins et à partir d'un moment, il en perd autant qu'il en conquiert, il aura donc atteint son régime d'équilibre.5) Puisque[tex] \lim _{n \to + \infty} \left(\frac12\right)^n =0[/tex] car [tex]\frac12 < 1[/tex], on déduit que la suite [tex]u_n[/tex] converge vers 2.000.
C'est le nombre permanent d'abonnés.C'est à peu prés la démarche requise par ton manuel, et c'est comme cela qu'il faut répondre aux questions pour établir rigoureusement les résultats pressentis.
Je n'ai pas regardé ce que tu as fait, je te laisse faire les rapprochement utiles.A te lire !
Merci beaucoup pour ce corrigé très détaillé freddy,c'est vraiment sympa :).
Mais c'est pas grave si t'as pas lus,tes réponse sont plus clairs ^^.
Tu réponds souvent,c'est sympa :).
- totomm
- 19-02-2015 17:47:59
Bonjour,
@ freddy : C'est avec plaisir que l'on vous retrouve en forme pour traiter un problème entièrement. :-))
- freddy
- 19-02-2015 14:48:21
Salut,
on va essayer de faire les choses dans l'ordre.
1)[tex] u_n[/tex] est une approximation du nombre d'abonnés à la date[tex] n[/tex] si on suppose que la formule de récurrence qui donne [tex]u_{n+1}[/tex] en fonction de [tex]u_n[/tex] reste stable dans le temps.
2) Graphiquement, la suite est décroissante et convergente vers la valeur limite égale à 2.000 abonnés.
3) On pose [tex]v_n=u_n-2.000[/tex]. On a [tex]v_n = \frac12u_{n-1}+1.000-2.000 = \frac12u_{n-1}-1.000 =\frac12(u_{n-1}-2.000)=\frac12v_{n-1}[/tex]
La suite [tex](v_n)[/tex] est donc une suite géométrique, de premier terme [tex]v_0=2.000[/tex] et de raison [tex]q=\frac12[/tex]
On déduit que [tex]v_1=\frac12v_0[/tex], [tex]v_2=\frac12v_1=\left(\frac12\right)^2v_0[/tex], ..., [tex]v_n=\left(\frac12\right)^nv_0[/tex]
Par suite, en revenant à la définition de la suite [tex](v_n)[/tex] , on a[tex] v_n=\left(\frac12\right)^n\times 2.000 = u_n-2.000 \Leftrightarrow u_n= 2.000+2.000\left(\frac12\right)^n[/tex]
4-a) [tex]u_{n+1}-u_n = 2.000\times \left(\frac12\right)^n\times (0,5-1)=-1.000\times \left(\frac12\right)^n[/tex].
4-b) On en déduit que la suite est décroissante et que la différence entre deux termes consécutifs tend progressivement vers 0 au fur et à mesure que n croît. En clair, le journal perd tout le temps des abonnés, mais chaque année de moins en moins et à partir d'un moment, il en perd autant qu'il en conquiert, il aura donc atteint son régime d'équilibre.
5) Puisque[tex] \lim _{n \to + \infty} \left(\frac12\right)^n =0[/tex] car [tex]\frac12 < 1[/tex], on déduit que la suite [tex]u_n[/tex] converge vers 2.000.
C'est le nombre permanent d'abonnés.
C'est à peu prés la démarche requise par ton manuel, et c'est comme cela qu'il faut répondre aux questions pour établir rigoureusement les résultats pressentis.
Je n'ai pas regardé ce que tu as fait, je te laisse faire les rapprochement utiles.
A te lire !
- totomm
- 18-02-2015 21:42:18
Bonsoir,
question 2 : on peut estimer que la limite doit être 2000
question 3 : [tex]V_{n+1}= U_{n+1}-2000[/tex] et [tex]U_{n+1}=0,5U_n+1000[/tex] donc :
[tex]V_{n+1}=(0,5U_n+1000)-2000=(0,5(V_n+2000)+1000)-2000[/tex] donc :
[tex]V_{n+1}=0,5V_n[/tex] Voila la progression géométrique
- Joan94
- 18-02-2015 21:04:30
Bonjour,
j'ai essayer de faire cet exercice(voir photo),mais je ne suis pas sûr d'avoir tout compris,et c'est d'ailleurs pour cela que je vous montrerai ce que j'ai fais.
Mais avant ça je voulais dire que la question 3) c'est :
Pour tout entier n,on pose:[tex] V_n=U_n-2000[/tex].
Démontrer que la suite Vn est géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de [tex]V_0[/tex],préciser la valeur de [tex]V_0[/tex] et en déduire l'expression de Vn en fonction de n.
Enfin,justifiez que pour tout n,[tex]U_n=2000+2000*0,5^n[/tex].
Pour commencer je dirai que la suite semble décroissante(en répondant à la question 2),mais je ne m'avancerai pas sur sa limite...
Ensuite,pour le 3)Je dirai qu'on sais que une suite géométrique peut s'écrire de la forme [tex]V_n=v_0*q^n[/tex] ,et on sait déja que [tex]V_0=U_0-2000=4000-2000=2000.[/tex]
Mais il nous manque le q que l'on peut trouver grâce à la formule "[tex]V_n=V_p*q^{(n-p)}[/tex]",et nous avons [tex]V_0[/tex],mais nous manque [tex]V_1[/tex] pour trouver q.
Cependant on peut trouver [tex]V_1[/tex] grâce à [tex]U_1[/tex],en effet[tex],V_1=U_1-2000=3000-2000=1000[/tex].
Et on en déduit donc que [tex]V_1=V_0*q^1=>q= \frac{V_1}{V_0}[/tex]=1000/2000=1/2.
On en déduit ensuite que [tex]V_n=2000*(0.5)^n.[/tex]
Après,on sait que [tex]V_n=U_n-2000,[/tex]donc [tex]U_n=2000+V_n=2000+2000*(0.5)^n[/tex].
Ensuite,pour la question 4)j'ai essayer d'exprimer [tex]U_n[/tex] en fonction de n, en disant que [tex]U_n[/tex] est arithmétique et donc que [tex]U_n=U_0+nr=4000+nr.
[/tex]
De plus, nous avons [tex]U_0[/tex],donc nous pouvons aussi trouver [tex]U_1[/tex] car [tex]U_{n+1}=U_n+r[/tex] et donc trouver r grâce à la formule : [tex]U_n=U_p+(n-p)*r[/tex].
Et connaissant [tex]U_1[/tex] (qui est sur le graphique),j'en ai déduit que r=-1000,sachant que [tex]U_p=U_0[/tex] et[tex] U_n=U_1.
[/tex]
Enfin,j'en ai conclut que [tex]U_n[/tex]=4000-1000n,donc je peux enfin calculer [tex]U_{n+1}-U_n=0.5U_n+1000-4000-1000n=500n-1000.[/tex].
Mais ça ressemble pas à ce qu'on doit trouv erdans la question 4)....
Donc j'ai plûtot essayer d'exprimer [tex]U_{n+1}[/tex] en fonction de [tex]U_n[/tex] et j'ai dit que [tex]U_{n+1}-U_n=0.5U_n+1000-U_n=0,5*(2000+2000*(0.5)^n)+1000-2000-2000*(0.5)^n=-1000*0,5^n.[/tex]
4.b)Sachant que 0,5<1,et que -1000 est négatif,cette suite est donc croissante.
Mais pour la question 5,et 1,j'aimerai qu'on m'aide si possible,et savoir si mes réponses sont bonnes ainsi que si j'ai bien exprimer [tex]U_n[/tex] en fonction de n(c'est pas demander mais ça m'intéresse).merci :)
