Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut,
OK, je n'avais pas bien précisé que les produits AX et BY étaient connus.
Eh bien bravo, il a quand même fallu 2080 lectures !
Merci de ton intérêt.

xaxo

Ce que pense Chat GPT de ce raisonnement.

1️⃣ Ce que l'attaquant affirme en substance :

« On a 4 équations à 4 inconnues (A, B, X, Y), donc on peut résoudre et retrouver A et B. »

C’est une intuition très courante, mais fausse en général.

2️⃣ Le point clé : ce ne sont PAS 4 équations indépendantes.
Regardons ses deux équations « explicitées ».

Équation 1 (E = 3A + C)
Il écrit :

E=3A+[(T−X)+A]−AX+[(T−X)+A]−BY
Simplifions proprement :

E=3A+2(T−X+A)−(AX+BY)
Or AX + BY = 2T par définition de T.

Donc :

E=3A+2T−2X+2A−2T E=5A−2X
? AX et BY ont totalement disparu.

Équation 2 (H = D + B + Y)
Il écrit :

H=[(T−Y)+B]−AX+[(T−Y)+B]−BY+B+Y
Même simplification :

H=2(T−Y+B)−(AX+BY)+B+Y H=2T−2Y+2B−2T+B+Y H=3B−Y
? Là encore, AX et BY disparaissent complètement.

3️⃣ Ce qu’il reste réellement
On n’a donc pas « 4 équations à 4 inconnues », mais en réalité :

{E=5A−2XH=3B−Y
? Deux équations linéaires indépendantes
? Quatre inconnues : A,X,B,Y

Le système est massivement sous-déterminé.

4️⃣ Conséquence directe (mathématiquement incontestable)
Pour toute valeur de A, il existe une infinité de couples (A,X) satisfaisant :

X=25A−E
Idem pour B,Y :

Y=3B−H
? Il n’y a aucun mécanisme dans ces équations qui :

distingue la « bonne » solution,

exploite la structure factorielle de AX ou BY,

réduise l’espace des solutions possibles.

5️⃣ L’erreur conceptuelle de l’attaquant
Son raisonnement repose implicitement sur une hypothèse fausse :

« AX et BY apportent des contraintes supplémentaires indépendantes »

En réalité :

AX et BY n’interviennent plus après substitution de T,

ils ne font que garantir la cohérence arithmétique globale,

ils n’isolent jamais A, X, B, Y individuellement.

Autrement dit :

il confond le nombre d’expressions écrites avec le nombre de contraintes indépendantes.

C’est une erreur classique en algèbre linéaire.

J'avoue ne pas avoir trop regardé en profondeur mais partons du principe que la seule chose que possède Alice et Bob soient leur clé privée respectivement A et B et que tout ce qu'ils s'échangent après ça peut être potentiellement intercepté dès lors on a trivialement : 

Ce qui est connu :

T=12396
AX = 9398
BY = 15394
487 (Alice à Bob) = 3 * A + C = 3 * A + [(T - X) + A] - AX + [(T - X) + A] - BY = 3 * A + [(12396 - X) + A] - 9398 + [(12396 - X) + A] - 15394 (val de T, AX, BY connues)
451 (Bob à Alice) = D + B + Y = [(T - Y) + B] - AX + [(T - Y) + B] - BY  + B + Y = [(12396 - Y) + B] - 9398 + [(12396 - Y) + B] - 15394  + B + Y (val de T, AX, BY connues)

Donc quatre équations à quatre inconnues soit assez pour trouver A et B

Bonjour,

Quelqu'un peut-il casser ce protocole d'échange de clé ?
Merci.

A = 127
B = 179
X = 74 (2 * 37)
Y = 86 (2 * 43)
AX = 127 * 74 = 9398
BY = 179 * 86 = 15394
T = 15394 + 9398 / 2 = 12396
AX, BY, T publiques.
Alice :
[(T - 74) + 127] - BY = - 2945
[(T - 74) + 127] - AX = 3051
C = 3051 - 2945 = 106
Bob :
[(T - 86) + 179] - BY = - 2905
[(T - 86) + 179] - AX = 3091
D = 3091 - 2905 = 186
Alice :
(3 * 127) + 106 = 487
106 + (127 + 74) = 307
Bob:
(3 * 179) + 186 = 723
186 + (179 + 86) = 451
Alice : 487 à Bob
Bob : 451 à Alice
Bob : 487 + 723 = 1210
Alice : 451 + 307 = 758
Bob : 1210 + 12 = 1222 (cryptage)
1222 à Alice
Alice : 1222 - 758 = 464
758 - 464 = 294
294 + 74 = 368
368 + 16 = 384 (cryptage)
384 à Bob
Bob : 384 + 86 + [12] = 482
482 à Alice

Alice : 482 - [16] = 466
Clé = 466 - (127 + 74) = 265 (179 + 86)