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Ernst · 03-04-2024 22:16:13

Pour être sûr d’avoir trois décimales parfaitement exactes – le millimètre cube – j’ai effectué cent milliards de tirages, pas moins. Et histoire d’être vraiment, mais alors vraiment sûr, j’ai même répété cette opération encore neuf fois, donc calculé mille milliards de points aléatoires dans le parallélépipède englobant l’intersection du tore et du cylindre concerné.

Aperçu des résultats, ce qui permet d’apprécier les variations :
7,991160
7,991125
7,991138
7,991142
7,991121
7,991174
7,991149
7,991132
7,991136
7,991102

7,9911379 = la moyenne de ces dix tirages, ce qui permet des calculs définitifs. Ouf.

(on dira ce qu’on veut, mais pouvoir obtenir cela en moins de deux heures sur un ordinateur personnel, c’est quand même une sacrée révolution)

Ernst · 03-04-2024 22:05:41

Bonsoir Bernard-maths

L'intégrale triple je ne sais pas faire, par contre évaluer plus précisément le volume de la partie commune je sais faire, en programmant par exemple une simulation de Monte-Carlo à partir des équations du tore et du cylindre. Pas trop compliqué, il s’agit de choisir au hasard un point de coordonnées x, y, z dans l’espace commun et de ne le valider que s’il appartient à la fois au cylindre et au tore, puis de recommencer un très grand nombre de fois. Les points retenus par rapport aux points envoyés sont dans la même proportion que le volume de la partie que l'on cherche par rapport au volume total de la boîte des tirages.

Le tore : 78,95684 (formule)
Le quart de tore : 19,73921 (formule)
Le cylindre horizontal : 15,70796 (formule)
Le cylindre vertical : 21,99115 (formule)
Total : 136,39516
Partie commune : 7,99114 (évaluation précise)
Résultat : 128,404 centimètres cubes, avec cette fois une précision assurée sur tous les chiffres, yé !

Pour Blender je déconseille tellement c’est compliqué. C’est une usine à gaz qui évolue en permanence (lire qui change tout le temps) et dont les arcanes sont inaccessibles à celui qui pratique en dilettante. J’arrive à modéliser c’est vrai, mais parce que j’ai déjà perdu quantité d’heures à manipuler les différents paramètres essentiels pour appréhender le logiciel et quelques unes de ses possibilités.

Bernard-maths · 03-04-2024 07:31:03

Bon ... jour !

Faudra que je me mette à Blender ...

N'empêche que mon approximation est alors fausse ?

Y-a-t-il sur ce site de Bib un bon amateur d'intégrales triples pour avoir la réponse exacte ???

^-^

@ +, B-m

Ernst · 02-04-2024 22:03:19

Bonsoir,

Juste par acquis de conscience, je demande à Blender d’évaluer cette fois un quart de tore évidé par un cylindre :

jonction

Comme l’échantillonnage consiste à approcher une courbure de l’intérieur, le volume calculé est sans doute inférieur au volume réel, estimé ici à 11,7328 centimètres cubes. C'est la seule incertitude puisque le reste peut être calculé très précisément avec les formules idoines. N'empêche, que ce soit demi-lentille découpée, cylindre évidé ou quart de tore creusé, je finis toujours par tomber sur ce volume total de 128,4 centimètres cubes - à un ou deux millimètres cubes près bien sûr.

Pas impossible qu’en sachant manier les intégrales pour obtenir plus rigoureusement le volume de l’intersection du tore et du cylindre on puisse faire mieux, mais le fait de pouvoir modéliser et évaluer rapidement des volumes bizarroïdes sans avoir fait normale, supaéro ou les mines c’est quand même pas mal je trouve.

Pour la petite histoire, ici c’est un add-on destiné à l’impression3D qui a fait les calculs. Il est donc possible aujourd'hui d’imprimer aussi chez soi de telles pièces et de les plonger dans un récipient rempli d’eau pour mesurer si nécessaire le volume déplacé.

Le progrès, c'est quand même fou quand on y pense...

Ernst · 01-04-2024 19:00:48

Bonsoir Bernard-maths

Ah ah, intéressant. Ok, deuxième méthode. Cette fois je calcule d’abord le volume du tore, du quart de tore, du cylindre horizontal sur 5 cm et du cylindre vertical sur 3 cm seulement, jusqu’à son contact avec le tore. J’obtiens 78,95684 + 19,73921 + 15,70796 + 9,42478 = 123,82879 centimètres cubes.

Il ne me reste plus qu'à ajouter le volume du raccord (morceau de cylindre vertical de quatre centimètres qui commence en K et finit en L) qui joint le cylindre à la surface du tore :

raccord

Cette fois je demande à Blender de me supprimer du cylindre la partie appartienant au tore. Il me dit que la pièce fait alors 4,5769 centimètres cubes. Je l’ajoute et j’obtiens 128,40569 donc bel et bien mes 128,41 centimètres cubes.

(en passant je suis surpris, il m'a dégagé plus des deux-tiers du volume de ce cylindre alors qu'au pif j'aurais dit la moitié)

Bernard-maths · 01-04-2024 17:07:30

Bonjour Ernst !

Bon, il faut que je m'y mette !

D'accord avec la surface et le volume de la section carrée.

Pour la section cieculaire, de vagues souvenirs de physique m'incitent à calculer la longueur de la ligne "moyenne" sur une largeur de 2 cm, on trouve 81.24/2 = 40.62 cm. Si on revient à la section carrée, on trouve 40.62 * 4 = 162.48 cm³.

ALORS, et c'est là que les Athéniens ..., j'attends confirmation des physiciens du site pour être content, mais pas de blague aujourd'hui, hein !!!

DONC je fais aire du disque par longueur = π * 40.62 = 127.613 ...

Ce qui diffère un peu de Blender ...

Bonne soirée,

Bernard-maths

Ernst · 01-04-2024 16:14:54

Bonjour,

La surface fait 81,24 centimètres carrés. Pour une épaisseur de 2 cm, comme il s’agit d’une extrusion, il suffit de multiplier par la profondeur pour obtenir 162,48 centimètres cubes. Quant au volume de cette forme avec une section circulaire, il est de 128,4 centimètres cubes.

J'ai commencé par le calcul de la couronne supérieure en l'imaginant complète. C’est la soustraction du petit cercle au plus grand. Les surfaces respectives étant 9 Pi et 25 Pi, la couronne complète fait donc 16 Pi. La courbe du bas fait un quart de couronne, donc 4 Pi. Total des courbures, 20 Pi. Il suffit d'ajouter les deux rectangles de 10 cm² pour l’horizontal et de 14 cm² pour le vertical sauf qu'attention, si on compte le rectangle vertical en entier, il faut retirer de la couronne la partie qu’il recouvre histoire de ne pas compter deux fois la même surface. En fait prolonger le rectangle établit un segment circulaire dont on ne considère que la moitié, et puisqu'il existe une formule qui donne la surface d’un segment circulaire pour peu qu’on connaisse la corde et le rayon, ou la corde et la flèche, ou la flèche et le rayon, j'ai demandé à un site de me calculer ça.

Pour une section circulaire on ajoute les volumes du cylindre horizontal, du quart de tore, du cylindre vertical et du tore complet, sans oublier de retirer ensuite la partie commune au tore et au cylindre vertical qui fait 8 centimètres cubes. À noter que c'est Blender qui m'a calculé le volume de l’intersection entre le tore et le cylindre, et comme ce calcul passe par échantillonnage et non par formules exactes, il sous-estime un peu, si ça se trouve il manque quelques millimètres cubes.

Bernard-maths · 31-03-2024 17:45:59

Bonjour à tous !

En ce jour mémorable, plutôt que de recevoir des oeufs venus des cieux, j'ai décidé de mettre les choses à plat, et ... de dessiner un neuf sur le plat, d'un repère cartésien en 2D.

Alors, quelle est l'aire de ce neuf, l'unité (de longueur) étant le cm ?

En supposant qu'on lui donne du volume, en choisissant une section carrée de 2x2 cm ... quel est son volume ?

Et si la section est circulaire, de rayon 1 ???

Bonne dégustation,

Bernard-maths

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