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Bonjour, et bonne année également,

Pour la question de l'unicité de la décomposition LU, je pense que tu peux regarder comment on monterai cette unicité en général (en remarquant qu'il faut que les valeurs propres de ta matrice soient toutes non nulles pour que cette preuve fonctionne).

Tu peux déjà montrer au préalable que le produit de deux matrices triangulaires supérieures est encore triangulaire supérieure (idem pour inférieure).

Et comme très souvent, pour montrer l'unicité, tu supposes qu'il existe deux décompositions LU = L'U' et il faut montrer que L=L' et U=U'.

Je te donne des pistes et je te laisse compléter :
$$\text{étape 1 :} \qquad LU=L'U' \quad \Longrightarrow \quad (L')^{-1}L = U'U^{-1}$$
$$\text{étape 2 :} \qquad LU=L'U' \quad \Longrightarrow \quad (L')^{-1}L = \mathrm{Id} \quad \text{et} \quad U'U^{-1} = \mathrm{Id}$$
$$\text{étape 3 :} \qquad LU=L'U' \quad \Longrightarrow \quad L=L' \quad \text{et} \quad  U=U'$$

Roro.