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Bonjour,
Petites remarques sur le vocabulaire qui vont surement aider à la compréhension

Attention : un ensemble quelconque n'a à priori pas de dimension. On trouve les définitions suivantes :
Définition : Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie, alors $F\subset E$ est un hyperplan s'il s'agit d'un sous espace vectoriel de dimension $n-1$.
Définition : Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie, alors $F\subset E$ est un hyperplan AFFINE s'il existe un vecteur $u\in E$ tel que $F-u:= \{v-u |v\in F\}$ soit un hyperplan.

Déjà il faut préciser que $f$ est une forme linéaire non nulle. Ensuite si la constante vaut $0$ on va trouver un hyperplan, sinon un hyperplan affine.

Proposition : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, et $F\subset E$ un ensemble
Alors $F$ est un hyperplan de $E$ si et seulement si il existe une forme linéaire non nulle $f : E \to K$ telle que $F=\text{Ker}(f)$.

La preuve du sens indirect est une conséquence immédiate du théorème du rang. Sinon, autre méthode, on prend $x_0\in E$ tel que $f(x_0)\neq 0$ ce qui est possible puisque $f$ n'est pas la forme nulle. Notons $D$ la droite $Kx_0$ on va montrer que $Ker(f)$ et $D$ sont supplémentaires. Déjà il est évident qu'ils sont en somme directe : prenons $x\in Ker(f)\cap D$, on a tout d'abord $f(x)=0$ car $x\in Ker(f)$, mais on a aussi $x=\lambda x_0$ avec $\lambda\in K$ (puisque $x\in D$). Ainsi, $0=\lambda f(x_0)$ et donc $\lambda=0$ car $f(x_0)\neq 0$, on conclut donc $x=0$. Ensuite, leur somme vaut bien $E$, si $x\in E$, il suffit d'écrire $x=x-f(x)/f(x_0)x_0+f(x)/f(x_0)x_0.$
Ainsi $F$ est le supplémentaire d'une droite vectorielle c'est donc un hyperplan (sous espace vectoriel de dimension $n-1$).

La preuve du sens direct vient en prenant $D=Kx_0$ une droite supplémentaire à $F$ (engendrée par $x_0\in E$ non nul). Maintenant si $x$ est un élément de $E$ on écrit $x$ de manière unique $x=\lambda x_0+x_F$, où $\lambda \in K$ et $x_F\in F$ (définition du supplémentaire). On définit alors $f(x)=\lambda$ on vérifie aisément que $f$ satisfait les propriétés demandées.

Maintenant, si $E$ est un espace vectoriel de dimension infinie, on dit que $F$ est un hyperplan de $E$ si et seulement si $F$ est de codimension $1$ c'est à dire si $F\neq E$ et si son supplémentaire est une droite vectorielle ($F\neq E \text{ et }\exists x_0\in E,\  \forall x\in E,\  \exists (\lambda,y)\in K\times F,\  x=\lambda x_0+y$).

Alors on a toujours l'équivalence $F$ est un hyperplan si et seulement si $F$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle (voir que la preuve ci dessus est faite pour s'adapter à cette définition).

Bonne journée