Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Pour commencer juillet, voici une petite énigme bien sympathique qu'on m'avait faite il y a un moment.

Dans une prison il y a 10 prisonniers qui vivent dans des cellules isolées les unes des autres. Cependant, un jour ils sont réunis par le gardien et on propose le "jeu" suivant :
- Pendant le jeu les prisonniers n'auront aucune opportunité pour communiquer entre eux.
- Chaque soir le gardien de la prison lance un dé à dix faces et choisit au hasard l'un des dix prisonniers pour le faire venir dans son bureau (à l'insu des autres).
- Dans le bureau se trouve une pièce de monnaie en or massif qui a deux côtés : pile et face.
- Lorsque vient son tour, un prisonnier peut prendre connaissance de la pièce, la retourner ou la laisser telle quelle.
- Lorsque vient son tour, un prisonnier peut également choisir d'annoncer la fin du jeu au gardien. Les prisonniers gagnent (et sont libérés) si lorsque la fin du jeu est annoncée alors chacun des prisonniers était passé au moins une fois dans le bureau du gardien. Sinon, si un prisonnier annonce la fin du jeu mais qu'un des prisonniers n'avait jamais été convoqué dans le bureau, alors les prisonniers perdent (et sont exécutés).
- Initialement la pièce est sur pile.
- Seuls les prisonniers pourront éventuellement tourner la pièce, le gardien lui ne touchera jamais la pièce.

Une fois le jeu annoncé, les prisonniers peuvent se concerter pour établir une stratégie (ils ne pourront plus communiquer entre eux après).

Quelle serait une stratégie permettant aux prisonniers d'être gagnants à coup sûr ?

Petite variante : les prisonniers ne savent pas que la pièce est sur pile initialement.
Question annexe : si le dé lancé par le gardien est équilibré, calculer combien de jours prendra votre stratégie en moyenne.

Bonne chance :)