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- Z.10.46
- 30-06-2023 16:25:21
Bon j'ai reforumlé le puzzle pour être plus clair:
Considérez la fonction:
$M(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}} $,
où $v \in ]-c;c[ $, $m_0\in\mathbb{R}^{*+}$, et $c=3.10^8$.
Soit $(U_n)$ une suite avec un terme général $U_n = M\left(c-\frac{1}{n+2}\right)-M\left(c-\frac{1}{n+1}\right) $ où $n \in \mathbb{N}$.
Soit la suite des sommes partielles $S_n$ définie comme $S_n = U_0+U_1+U_2+\ldots+U_n$
Soit $S$ la somme de cette série définie par $S = U_0+U_1+U_2+\ldots$.
La série $S = U_0+U_1+U_2+\ldots=+\infty$ diverge vers l'infini et n'est pas sommable au sens de Cesàro, c'est-à-dire qu'elle ne converge pas au sens de Cesàro, tout comme la série $1+2+3+\ldots=+\infty$ (pour plus de détails, veuillez vous référer à l'article Wikipedia sur la sommation de Cesàro).
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_de_Ces%C3%A0ro
D'autre part, la série divergente $1+2+3+\dots$ peut être sommée en utilisant la méthode de sommation par régularisation zêta pour obtenir $-1/12$ (pour plus de détails, veuillez-vous référer à l'article Wikipédia correspondant ci-joint).
https://fr.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_% … _%E2%8B%AF
Question de puzzle:
Existe-t-il une méthode de sommation où la série divergente $S = U_0+U_1+U_2+\ldots$ converge vers une valeur finie ?
Existe-t-il une méthode de sommation où la série divergente $S = U_0+U_1+U_2+\ldots$ converge vers une valeur finie égale à $m_0$ ?
Pour votre information S représente la divergence de $M(v)$ à $v=c $ car:
à $v=c$, nous avons $M(c)=\lim_{v \to c-} M(v)$.
Je pose $x+2=1/(c-v)$, donc $v=c-1/(x+2)$ Par conséquent :
$M(c)=\lim_{v \to c-} M(v)=\lim_{{n \to +\infty}}M(c-1/(n+2))$.
Ainsi, nous avons : $M(c)=\lim_{v \to c-} M(v)=\lim_{{x \to +\infty}}M(c-1/(x+2))=\lim_{{n\to +\infty}}M(c-1/(n+2))$.
Je pose $S_n=M(c-1/(n+2))$ Donc $U_n=S_n-S_{n-1}$ donc $S_n = U_0+U_1+U_2+\ldots+U_n$ et $S = U_0+U_1+U_2+\ldots$.
Donc on a : $M(c)=\lim_{v \to c-} M(v)=\lim_{{n\to +\infty}}S_n=S$.
Donc $S$ représente bien la divergence de $M(v)$ à $v=c $.
- Z.10.46
- 27-06-2023 23:44:03
Édit:
Cool, on a : $a_n = S_n - S_{n-1}=M(c-1/n)-M(c-1/(n-1))$, non ?
Et on peut même calculer $a_0$ et $a_1$ même s'ils ne sont pas définis par un calcul de limite.
Reste plus qu'à faire la régularisation de la série $S_n=a_0+a_1+a_2...a_n$ pour voir ce que ça donne comme valeur finie. Si elle n'est pas égale à $m_0$, il faut essayer une autre fonction équivalente à $M(c-1/n)$ .
Pour trouver la solution ce puzzelle...
- Z.10.46
- 27-06-2023 18:50:59
Voici où je suis bloqué : J'arrive à trouver facilement $g(x)$ pour la question 2. Je pose $x=1/(c-v)$, donc $v=c-1/x$. Donc $g(x)=M(c-1/x)$.
Donc j'ai $S_n=g(n)=M(c-1/n)$. Donc ici, je peux construire une infinité de fonctions équivalentes à $g(n)$ au voisinage de l'infini pour tester où je tombe sur $m_0$.
Mais le problème est-il possible d'appliquer la régularisation de la série directement sur la somme $M(c-1/n)$ en fonction de $n$, pour rapidement trouver la bonne somme $S_n$ qui donne $m_0$ quand $S_n=M(c-1/n)$ ou $S_n\approx M(c-1/n)$, ou est-il obligatoire de connaître le terme de la suite $a_n$ tel que $S_n=a_0+a_1+a_2+\ldots+a_n$ ?
En tout cas, dans la solution 2, quand on trouve la bonne somme $S_n$ en fonction de $n$ qui donne $m_0$, il faut aussi trouver le terme $a_n$.
- Z.10.46
- 26-06-2023 01:39:39
Bonsoir Roro,
Je pense que vous n'avez pas compris le but de puzzelle, le but est de trouver $ Sn=a0+a1+a2...an$ divergente ou g(x) est connu et vérifie deux chose que: $\lim_{{x \to +\infty}} g(x) = \lim_{{n \to +\infty}}S_n$ et S=a0+a1+a2....=une valeur choisi et calculer par la méthode de régularisation d'une série pour le rendre fini .
Dans la question 1 j'ai $g(x) = x(x+1)/2$ et je demande une équivalence ou une égalité entre celle-ci et une série Sn inconnue dont $S=a0+a1+a2....$ divergente, et la valeur que je choisi est -1/12 .
Donc, la solution 1 démontre que la première et la deuxième condition, sont vérifies par la série $S_n=1+2+3+...n$.
Car $\lim_{{x \to +\infty}} g(x) = \lim_{{n \to +\infty}}S_n$ et la méthode de la régularisation zêta de Riemann donne bien -1/12.
Dans la question 2: je cherche la même chose mais d'abord il faut trouver g(x) a partir de M(v) telque $\lim_{v \to c-} M(v) = \lim_{{x \to \infty}} g(x)$ et la valeur choisi pour $S=a0+a1+a2...$ est m0.
Il existe une infinité de Sn avec g(x) comme j'ai montré pour la solution 1, mais pas beaucoups qui peuvent remplir la condition égal à m0...
- Z.10.46
- 26-06-2023 00:12:45
Puisque c'est une équation physique,et je veux un sens physique:
Voici la méthode la plus couramment utilisée pour attribuer une valeur à une série divergente est la méthode de la régularisation. Cela inclut des techniques telles que la régularisation dimensionnelle, la régularisation de renormalisation et la régularisation de la somme d'Euler-Maclaurin.
La régularisation dimensionnelle est largement utilisée en physique des particules et en théorie quantique des champs. Elle consiste à étendre l'espace-temps à un nombre non entier de dimensions, puis à effectuer les calculs mathématiques dans cet espace étendu. Cela permet d'éviter les divergences présentes dans les calculs en dimension classique et d'obtenir des résultats finis et significatifs.
La régularisation de renormalisation est une méthode utilisée en physique des particules, en théorie quantique des champs et en physique statistique. Elle consiste à réécrire les équations de base de la théorie en introduisant des paramètres qui représentent les corrections de renormalisation. Ces paramètres permettent de gérer les divergences et d'obtenir des résultats finis et physiquement significatifs.
La régularisation de la somme d'Euler-Maclaurin est utilisée dans divers domaines de la physique, tels que la théorie des cordes, la théorie quantique des champs et la physique statistique. Elle consiste à appliquer une formule basée sur la somme partielle d'une série et des intégrales pour attribuer une valeur régularisée à la série divergente.
Ces méthodes de régularisation sont essentielles pour traiter les divergences qui apparaissent dans de nombreuses théories physiques et permettent d'obtenir des résultats cohérents et significatifs. Cependant, il est important de noter que le choix de la méthode de régularisation dépend du contexte spécifique de la théorie et de la nature des divergences rencontrées.
- Z.10.46
- 25-06-2023 23:52:04
Il existe plusieurs méthodes pour attribuer une valeur à une série divergente. Voici quelques-unes des méthodes les plus couramment utilisées :
La méthode de la sommation de Césaro : Cette méthode consiste à prendre les moyennes des sommes partielles de la série pour obtenir une valeur de convergence. On calcule la moyenne des sommes partielles jusqu'à un certain rang, puis on répète le processus pour des rangs de plus en plus grands. Si cette suite de moyennes converge vers une valeur, on attribue cette valeur à la série. Cependant, il est important de noter que cette méthode ne fonctionne pas pour toutes les séries divergentes.
La méthode de la sommation d'Abel : Cette méthode est similaire à la méthode de Césaro, mais utilise la notion de convergence d'une série de termes généralisés. On multiplie les termes de la série par une suite convergente et on prend la somme de ces termes. Si cette somme converge vers une valeur, on attribue cette valeur à la série divergente.
La régularisation de la série : Cette méthode consiste à assigner une valeur à une série divergente en introduisant des termes régularisants qui rendent la série convergente. Par exemple, on peut ajouter des termes d'une série convergente à la série divergente pour obtenir une série convergente. La valeur attribuée à la série divergente est alors la somme de la série convergente ainsi obtenue.
La méthode de Borel : Cette méthode utilise la transformée de Borel pour attribuer une valeur à une série divergente. La transformée de Borel permet de transformer une série en une fonction analytique, et on peut alors évaluer cette fonction analytique pour obtenir une valeur.
Ces méthodes ne sont pas toujours applicables et peuvent fournir différentes valeurs selon la méthode choisie. Il est important de noter qu'attribuer une valeur à une série divergente est un sujet complexe et que différentes approches peuvent donner des résultats différents.
La somme de la série 1 + 2 + 3 + ... est une série divergente dans le sens classique des sommes partielles. Cependant, il existe une méthode de régularisation appelée la régularisation de Ramanujan ou la sommation de Ramanujan qui attribue la valeur -1/12 à cette série.
La régularisation de Ramanujan est basée sur des techniques mathématiques avancées, notamment la régularisation zêta de Riemann. Elle consiste à appliquer des manipulations algébriques et analytiques à la série pour lui attribuer une valeur régularisée.
La méthode de régularisation de Ramanujan a été utilisée dans le cadre des mathématiques avancées et de la physique théorique, notamment en théorie des cordes et en physique quantique.
Il est important de noter que l'attribution de la valeur -1/12 à la série 1 + 2 + 3 + ... est une interprétation spécifique basée sur la régularisation de Ramanujan, et cette valeur ne représente pas la somme classique de la série divergente selon les règles de la sommation ordinaire.
Donc, je souhaite plutôt l'utilisation de la régularisation zêta de Riemann pour trouver m₀ comme pour trouver -1/12 de 1+2+3.... Sinon, s'il n'est pas possible de l'utiliser pour trouver m0, nous pouvons choisir une autre méthode.
- Roro
- 25-06-2023 22:20:48
Bonsoir,
Quand je dis "Je cherche une sommation de Ramanujan", je veux dire qu'il faut utiliser les méthodes mathématiques qui justifient cette somme $1 + 2 + 3 + \ldots = -1/12$ et qui sont mentionnées dans ce lien:
Le vocabulaire "sommation de Ramanujan" n'est pas utilisé dans l'article que tu mentionnes.
Je ne suis pas certain que tu aies bien lu cet article en profondeur puisque tu n'arrives pas à savoir la différence entre une égalité et une équivalence. En tout cas, c'est peut être moi qui ne comprend pas mais je ne vois pas ce que tu veux faire.
Il faut être clair dans les termes que tu utilises si tu veux qu'on comprenne ce que tu fais.
Si tu demandes une suite équivalente à la série divergente $\sum_{k\geq 0} k$, je répond sans hésiter la suite $(\frac{n^2}{2})_{n\in \mathbb N}$ et la question est terminée.
Roro.
- Z.10.46
- 25-06-2023 16:48:27
Bonjour à toutes et à tous,
Question 1:
Je souhaite trouver une équivalence pour une série divergente $S$ (dont la sommation de Ramanujan est égale à $-1/12$) avec la limite lorsque $x$ tend vers l'infini de $g(x)$, où $g(x)$ est définie comme $g(x) = x(x+1)/2$.
Solution 1:
Je peux dire qu'il y a une équivalence entre $S$ et $\lim_{{x \to +\infty}} g(x)$, où $g(x) = \frac{x \cdot (x + 1)}{2}$.
Parce que nous avons :
$S_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \sum_{k=0}^{n} k = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$
Et $\lim_{{x \to +\infty}} g(x) = \lim_{{n \to +\infty}} S_n$, je ne suis pas sûr dans ce cas si c'est égal ou simplement équivalent, mais dans les deux cas, cela résout le problème.
Donc $S=1 + 2 + 3 + \ldots=\lim_{{x \to +\infty}} g(x)$ avec $S$ ayant une sommation de Ramanujan égale à $-1/12$.
Et je peux choisir un nombre infini d'autres $S_n$ qui seront équivalents mais avec des sommes de Ramanujan qui ne sont pas égales à $-1/12$.
Par exemple, $S_n = \frac{n^2 \cdot (n + 1)}{2(n - 1)}$.
Donc $\lim_{{x \to +\infty}} g(x)$~ $\lim_{{n \to +\infty}} S_n$, mais $S_n$ n'aurait pas une sommation de Ramanujan égale à $-1/12$.
Quand je dis "Je cherche une sommation de Ramanujan", je veux dire qu'il faut utiliser les méthodes mathématiques qui justifient cette somme $1 + 2 + 3 + \ldots = -1/12$ et qui sont mentionnées dans ce lien:
http://www.numdam.org/item/MSM_1954__128__1_0.pdf
Question 2:
$ M(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}$ avec $m_0 = 10000$, $c = 3 \times 10^8$.
Donc je pense que nous pouvons faire la même chose pour trouver la série équivalente $S$ pour $\lim_{v \to c} M(v)$ en la transformant en $\lim_{v \to c-} M(v) = \lim_{{x \to \infty}} g(x)$.
Je souhaite trouver une équivalence pour une série divergente $S$ (dont la sommation de Ramanujan est égale à $m_0$) avec la limite lorsque $x$ tend vers l'infini de $g(x)$.
Trouver la solution 2 ?