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Voici la solution de l'équation $\arctan(x-1) + \arctan(x) + \arctan(1+x) = \frac{\pi}{2}$
On a $\arctan(x) = \frac{1}{2i}\ln\left(\frac{1+ix}{1-ix}\right)$

$\arctan(x-1) + \arctan(x) + \arctan(1+x) = \frac{1}{2i}\left(\ln\left(\frac{1+i(x-1)}{1-i(x-1)}\right) + \ln\left(\frac{1+ix}{1-ix}\right) + \ln\left(\frac{1+i(x+1)}{1-i(x+1)}\right)\right)$

$= \frac{1}{2i}\ln\left(\left(\frac{1+i(x-1)}{1-i(x-1)}\right)\left(\frac{1+ix}{1-ix}\right)\left(\frac{1+i(x+1)}{1-i(x+1)}\right)\right)$

$= \frac{1}{2i}\ln\left(\frac{(1+i(x-1))(1+ix)(1+i(x+1))}{(1-i(x-1))(1-ix)(1-i(x+1))}\right)$

$= \frac{1}{2i}\ln\left(\frac{(4x-x^3)i+2-3x^2}{(-4x+x^3)i+2-3x^2}\right) = \frac{\pi}{2}$

Donc $\ln\left(\frac{(4x-x^3)i+2-3x^2}{(-4x+x^3)i+2-3x^2}\right) = i\pi$

$\frac{(4x-x^3)i+2-3x^2}{(-4x+x^3)i+2-3x^2} = \exp(i\pi) = -1$

Donc $(4x-x^3)i+2-3x^2 + (-4x+x^3)i+2-3x^2 = 4-6x^2 = 0$

Donc $x^2 = \frac{2}{3}$, donc $x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$

Mais seule la solution positive est exacte par vérification, selon les autres méthodes de résolution de ce problème qui aboutissent aux mêmes deux solutions et écartent la solution négative par vérification.
Pour démontrer que $16\arctan\left(\frac{1}{5}\right) - 4\arctan\left(\frac{1}{239}\right) = \pi$

On pose $\arctan\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{1}{2i}\ln\left(\frac{1+i/5}{1-i/5}\right)$

et $\arctan\left(\frac{1}{239}\right) = \frac{1}{2i}\ln\left(\frac{1+i/239}{1-i/239}\right)$

Ensuite, $16\arctan\left(\frac{1}{5}\right) - 4\arctan\left(\frac{1}{239}\right) = \frac{4}{2i}\left(\ln\left(\frac{1+i/5}{1-i/5}\right)\right)^4\left(\frac{1+i/239}{1-i/239}\right)$

En développant $\left(\ln\left(\frac{1+i/5}{1-i/5}\right)\right)^4\left(\frac{1+i/239}{1-i/239}\right) = \ln(i) = i\frac{\pi}{2}$.

Donc $16\arctan\left(\frac{1}{5}\right) - 4\arctan\left(\frac{1}{239}\right) = \pi$.

Ici, on observe que les propriétés familières du logarithme réel sont vérifiées pour le logarithme complexe dans ces exemples.

Alors pourquoi une utilisation mathématique loufoque des propriétés de logarithme réel donne des solutions cohérentes  même dans le cas du logarithme complexe ?