Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Tant mieux si tu as appris des choses,
Pour ta question il est vrai que $a\varphi(a)$ ne sera jamais optimal, en fait en affinant l'argument de Michel Coste on peut montrer qu'il existe un $1\leq n \leq a$ tel que $R_n$ soit divisible par $a$.
Cela dit ce qu'on peut donc dire c'est que ce $n$ minimal sera un diviseur de $a\varphi(a)$ plus petit que $a$, je ne sais pas pour le moment si on peut dire beaucoup mieux, il faut y réfléchir.
(on peut surement traiter des cas particulier, par exemple $gcd(a,9)=1$, ou alors $a=3^k$ etc...)

Bonne journée

oui c'est ça, en prenant par exemple $r=\varphi(a)$ et $n=a$, on voit que $R_{\varphi(a)a}$ est bien divisible par $a$.

Oui c'est exact ! maintenant qui choisir comme $n$ pour conclure ?

Bonsoir
Non c'etait pour Glozi, en ce qui concerne votre piste je dirai puisque y a une infinité de repunits et un nombre fini de restes dans la division par a donc d'après le principe des tiroirs y a forcément R_r et R_r' distincts tq : [tex]R_r\equiv R_{r'}[a]\Leftrightarrow R_r-R_{r'}\equiv 0[a]\Leftrightarrow 10^{r'}R_{r-r'}\equiv 0[a][/tex]
Et comme 10 et a sont premiers entre eux on aura donc [tex]R_{r-r'}\equiv 0[a][/tex]
Voila, est-ce correct ?

Si c'est pour suivre la piste que je t'ai indiquée, tu te compliques inutilement la vie !
Ciombien y a-t-il de repunits ?
Combien y a-t-il de restes possibles dans la division par [tex]a[/tex] ?

Bonsoir,
Le principe des tiroirs c'est le résultat suivant : si $f :E \to F$ avec $card(E)>card(F)$ alors $f$ est non injective. Vois tu pourquoi ça permet de conclure ?
PS : pour un peu de culture (et aussi pour justifier plus tard l'effectivité dont je parle dans mon message précédent), le $r$ que tu trouves peut toujours être pris égal à l'ordre du groupe $(\mathbb{Z}/a\mathbb{Z})^\times$ (c'est le théorème de Lagrange). Autrement dit on peut prendre $r=\varphi(a)$ où $\varphi$ est la fonction indicatrice d'Euler. (notons que $\varphi(p)=p-1$ si $p$ est un nombre premier).
Bonne soirée

Bonsoir Glozi et merci infiniment pour vos éclaircissements et explications si précieuses
J'imagine que tu voulais dire tels que $x^k=x^l$ dans $(\mathbb{Z}/a\mathbb{Z})^\times$.

Oui c'est ce que je voulais dire

Bon, on a finalement notre $r>0$ tel que $10^r \equiv 1 [a]$, formidable ! Maintenant il faut poursuivre !

Oui j'essaye toujours mais juste une question svp concernant votre excellente idée de l'application non injective , est ce que je dois prouver la non injectivité ? par un contre exemple par exemple ou simplement on peut dire "d'après le principe de tiroirs"