Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous !

Voilà une dizaine d’années environ que j’ai (re ?) trouvé une démonstration de ce fameux théorème, qui compte plus de 200 variantes de démonstrations, paraît-il !

Et j’ai perdu mon document sur GeoGebra, donc je le refais aujourd’hui … Voici la figure de début :

ABC est rectangle en A. On construit les 3 carrés sur les côtés. On trace les droites perpendiculaires (DE) et (FG) qui se coupent en K. On reconnaît alors que le rectangle AEKG est coupé par la diagonale (AK) en 2 triangles isométriques à ABC. Donc AK = BC = CI = BJ. Il résulte d’angles à côtés perpendiculaire que (AK) est aussi la hauteur issue de A dans ABC, de pied H. Elle recoupe [IJ] en L, et (AK) est parallèle à (BJ) et (CI) … et donc AK = HL aussi !

Alors ? Ce serait bien si « par hasard » on avait : aire(ACDE) = aire(CHLI), et aire(ABFG) = aire(BHLJ), non ?
Je vais vous proposer une démonstration « à la Thalès » !
Soit PQRS un quadrilatère qui recouvre ACDE au début, et soit PTUV un quadrilatère qui recouvre ABFG au début.

Alors, 1ère étape, on va faire transiter S de E en K en restant sur [EK], et V de G en K en restant sur [GK]. Evidemment, R suit S avec RS = CA, et U suit V en gardant UV = BA. Ainsi les parallélogrammes PQRS et PTUV gardent la même aire que les carrés de début ACDE et ABFG ! Et ceci se poursuit jusqu’à ce que S = K et V = K !
Finalement, on a [PS] = [PV] = [AK].Alors (QR) // (AK) et donc R, Q et I alignés ; R est sur la droite (CI) ! De même U est sur la droite (BJ) !
De plus on a aussi RQ = CI et UT = BJ … (on peut déjà voir que aire(PQRS) = aire(CHLI) …)

2ème étape : on fait transiter P de A vers L en suivant [AL] : les points S et V suivent avec conservation de longueur …

Et on va jusqu’au bout :

Il reste la 3ème étape :  cette fois on va faire transiter Q vers I en restant sur [CI] et T en J en restant sur [BJ].
Les parallélogrammes PQRS et PTUV vont venir recouvrir les rectangles LHCI et LHBJ … et c’est fini !

J’aime bien cette démarche géométrique, j’espère qu’elle vous a plu !

Bernard-maths