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Bonsoir.
Svp un exo me tourne la tête .

$ C(r)= \{(r\cos(\theta), r\sin(\theta), z) \in R^{3} / \theta \in [0,2\pi [, z\in R\} $ le cylindre  . On donne le point $ p=(r\cos(\theta_{0}), r\sin(\theta_{0}), z_{0}) \in C(r)$

1- Déterminer la courbure de Gauss et la courbure moyenne de C(r)
2- justifier que $v_{1}= ((-\sin(\theta_{0}), \cos(\theta_{0}), z_{0})$ et $v_{2}=(0,0,1)$ sont des directions propres de C(r) en p et préciser les courbures principales en p.

J'ai de problème au niveau de la question 2. Je sais que pour que ces vecteurs sont des directions propres, il faut que la matrice Weingarten soit diagonale dans la base formé par ses deux vecteurs. Ainsi, il faut que je vérifie que $W_{p}(v_{1})=k_{1}v_{1}     (1)$ .
J'ai essayé de trouver un représentant pour ce vecteur qui est : $$ \gamma(t) = ((r\cos(\theta_{0}+r^{-1}t), r\sin(\theta_{0}+r^{-1}t), z_{0} )$$ afin de vérifier l'expression (1) par la formule : W=-dN ou W l'app Weingarten et N l'App de Gauss de la surface .

Alors une fois procédé ainsi, je trouve finalement  $$
W_{p}(v_{1})=(\sin(r\cos(\theta_{0}))\sin(\theta_{0}),\cos(r\sin(\theta_{0})\cos(\theta_{0}),0)
$$
Ce qui ne me permet de l'écrire suivant le vecteur v1.
Peut-être qu'il existe autre méthode pour démontrer cela. Aidez moi donc.
Merci