Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Cela dépend de vôtre S: dans  $(\mathbb{Z}, +)$ pour S = {2},  <S> = contient bien à la fois 2 et 4.

Sinon dans un groupe quelconque, les élément 2 ou 4 que vous invoquez n'ont pas de sens.
Le théorème est général.

Tof

Bonsoir,

Sinon pour la suite de vos questions :
   <S> comme tout sous-groupe contenant S,  doit contenir au moins tous  les produits finis ( y compris le produit vide égal au neutre de G) d'éléments de S ou leur  symétrique (le ou n'est pas exclusif, il se peut qu'ils soient égaux), il n'y a pas le choix.
Or pour l'ensemble H de ces produits on a deux propriétés remarquable:

- H est un sous-groupe de G
- H contient S par construction.

Ainsi H = <S> répond à la question.
Il est unique aussi par construction.

Tof

Bonjour,
J'y vois beaucoup plus clair Oreki avec votre définition, avoir un élément $x_i$ dans le $\langle S\rangle$ nous assure qu'on y a aussi son inverse en faisant des congruences modulo $n$ ( dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ par exemple) et pour pouvoir reconstituer tous les éléments de $\langle S\rangle$ je dois l'ecrire comme $x_1^{\alpha_1}\times ...\times x_i^{\alpha_i}$.

Une remarque me saute aux yeux, par définition du $\langle S\rangle$ je suis assuré que ses éléments sont tous premiers entre eux sinon il existerait un plus petit $\langle S\rangle$, donc ce produit a bien un sens (c'est peut être ce que vous insuniez en disant
$\langle \{2,3\}\rangle = \mathbb{Z}$, il existe donc $(u,v) \in \mathbb{Z}^2$ tq $2u+3v=1$..., d'ailleurs $3-2=1$ est un générateur de $\mathbb{Z}$.

Merci @Tof pour votre remarque, l'existence découle d'une propriété encore plus forte, je pense avoir tout compris, je vais creuser tout ça.
Merci encore pour votre aide

Bonjour,

Plusieurs remarques :
1. Ton sujet n'a rien à voir avec le sujet en cours, il parasite la discussion couverte par Zizou269
    Il est de règle, dans tout forum, de respecter cette consigne : un sujet = une discussion, ce n'est donc pas ton cas.
2. Pour déposer ton sujet, tu as dû forcément soit cliquer sur Répondre, soit écrire directement dans le cadre Réponse rapide.
    Or, ton texte ne constitue en rien une réponse à Zizou269, alors pourquoi ? Méconnaissance du sens du verbe Répondre ?
    Je ne le pense pas.
3. Ce serait bien de produire un énoncé clair, mais aussi que  tu nous dises ce que toi tu as déjà fait.
    Ici, on t'aidera, mais on ne fera pas le travail à ta place...

En conséquence, je te demande d'ouvrir ta propre discussion en cliquant sur ce lien : Nouvelle discussion, puis choisir un titre court et précis, puis de copier/coller ton sujet.
Tu as 48 h pour le faire après quoi je supprimerai mon message et le tien.
En attendant, je veillerai à ce que tu n'aies pas de réponse : j'en suis désolé pour toi, mais je ne peux pas agir autrement sauf à accepter que l'anarchie s'installe dans ce forum.

Merci de ta compréhension.

       Yoshi
- Modérateur -

Bonjour,

Très souvent, lorsque l'on ne précise pas la loi du groupe, et que ce groupe n'est pas commutatif (ou abélien), le groupe est doté d'une loi multiplicative. (si c'est abélien, souvent, le groupe est additif). Donc les définitions utilisent beaucoup plus souvent la notation multiplicative qu'autre chose.

Ensuite, le sous-groupe engendré par une partie peut (conséquence directe de la définition) se caractériser par l'ensemble des résultats des opérations du groupe que l'on peut faire avec TOUS les éléments de ta partie. Par opération dans un groupe, on entend donc la multiplication, et l'inverse.

Je me permets de modifier un peu ta définition :
$\langle S\rangle = \{x_1^{\varepsilon_1}\times\cdots\times x_n^{\varepsilon_n}~:~n\in\mathbb{N}^*\text{ et } \forall i\in[\![1,n]\!], x_i\in S, \varepsilon_i =\pm 1\}$

Peut-être qu'avec celle-là, tu vois mieux ce qu'il se passe.
Quant à l'exemple, mettons comme groupe $G:=(\mathbb{Z},+)$, et comme partie $S:=\{2,3\}$. Alors $\langle \{2,3\}\rangle$ est l'ensemble des éléments qui s'écrivent comme somme de $2$, de $3$, de $-2$ et de $-3$, i.e. (en factorisant), les éléments qui s'écrivent $2k+3l, (k,l)\in\mathbb{Z}^2$. (Par le théorème de Bachet-Bezout, on voit que $\langle \{2,3\}\rangle=\mathbb{Z}$ mais ça, c'est une autre histoire).

Peut-être un autre exemple sur un groupe fini : $\mathbb{Z}/\mathbb{7Z}\backslash\{0\}$ doté d'une loi multiplicative. Comme c'est un groupe fini, on n'a pas besoin de prendre les inverses : l'inverse d'un élément $x$ de $S$ est une puissance de $x$ (en fait, on a l'inverse en remarquant que $x^{-1} = x^{d-1}$, où $d$ désigne l'ordre de $x$). De fait, il suffit de prendre l'ensemble des produits d'éléments de $S$.

Imaginons, $S=\{2,3\}$. Alors je calcule toutes les puissances de $2$ et de $3$, $\textit{i.e.}$ les $2^k3^l$ avec $(k,l)\in$$\mathbb{N}^2$. J'ai donc $S=2^k3^l~:~(k,l)\in$$\mathbb{N}^2$. ($S=\{1=2^0,2=2^1,3=3^1,4=2^2,5=2^2\times 3,6=2\times 3\}=G$).
L'exemple est un peu débile puisque $\langle\{3\}\rangle=G$ mais bon.