Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Il y a deux questions différentes, une dans le titre, une dans le post.

Commençons par le post :
Il n'y a aucune différence entre application réciproque et fonction réciproque. Les mots fonctions et applications sont synonymes, on utilise simplement plus le terme de fonction en analyse et le terme d'application en algèbre et en géométrie différentielle par exemple.

Pour ce qui est du titre :
Si $f:E\to F$ est une fonction et $B\subset F$ alors l'image réciproque de $B$ est $f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}$. En français, ce sont tous les éléments de $E$ dont l'image est dans $B$. C'est une définition purement ensembliste qui est toujours bien définie. Attention, le $f^{-1}$ ici n'est en aucun cas une fonction de $F$ dans $E$, il s'agit simplement s'une opération ensembliste.
La fonction réciproque n'existe que si la fonction est bijective, c'est à dire si chaque élément de l'ensemble de départ est l'image d'un et d'un unique élément de l'ensemble d'arrivée. Dans ce cas, la fonction $f^{-1}:F\to E$ est définie par $f^{-1}(y)=x\Leftrightarrow f(x)=y$. En français, $f{-1}(y)$ est l'unique élément de $E$ dont l'image par $F$ est $y$.

Exemple classique :
Soit $f:\mathbb R \to \mathbb R$, $x\mapsto x^2$.
Alors $f^{-1}([0,1])=[-1,1]$. $f^{-1}(\{4\})=\{-2,2\}$ mais $f^{-1}(4)$ n'a aucun sens car la fonction n'est pas bijective.

Par contre si on restreint l'ensemble de départ : $f:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$, $x\mapsto x^2$ alors
$f^{-1}(4)=2$ car f est bijective sur les ensemble défini. La fonction réciproque est bien connue, il s'agit de $f^{-1}(x)=\sqrt x$.

Bonne année 2022,
T.