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Tu peux démontrer - par récurrence - l'inégalité de Bernoulli :
\[ \forall n \in \mathbb N, \, \forall x > -1, (1+x)^n > nx, \]
Ou démontrer - par récurrence - la formule du binôme
\[ \forall n \in \mathbb N, \, \forall x,y \in \mathbb R, \; (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} x^k y^{n-k}, \]
puis spécifier \(x = \dfrac1n\) et \(y=1\).

Tu peux aussi prendre le logarithme des deux membres, mais ça serait de la triche :
Il n'y a pas de récurrence. C'est trop direct !

Paco.