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Bonjour à tous,
J’aimerais avoir votre aide pour la résolution de ma fiche exo sur la notion de Z/nZ. Certaines questions sont des énoncés des théorèmes (reformuler sous forme des questions) mais que je ne possède pas malheureusement des démonstrations. J’ai pu faire la première partie en cherchant à être le plus rigoureux possible mais je ne sais pas si dans ma résolution y’a des erreurs de raisonnement. Je serai très reconnaissant si vous jetiez un coup d’oeil sur mon travail et m’aidiez sur la résolution du reste.

Bien cordialement,

Partie I)
1. Commençons par supposer que Z/pZ est un corps, cela implique alors que Z/pZ est intègre. Supposons p non premier, il existe q_1,q_2 € N-{0,1} tel que p =q_1.q_2.p=0 donc q_1.q_2=0 avec q_1,q_2 €[2,p-1], ce qui contredit le fait que Z/pZ est intègre. p est donc un nombre premier. Supposons maintenant p premier. Soit a €[1,p-1] alors a /\ p = 1 et donc a est inversible dans Z/pZ. Tout élément non nul de Z/pZ est donc inversible; donc Z/pZ est un corps. Pour la reciproque, et pour etre complet, on invoque le theoreme de Bezout :  il existe des entiers relatifs a et b tels que ap + bn =1. Du coup, modulo p, on obtient que [n] (la classe de n mod p) est inversible d'inverse [b).

2. Pour montrer que pour tout x€(Z/pZ)*, on a x^(p-1) =1. il suffit simplement de remarquer que le groupe multiplicatif Z/pZ* a (p-1) éléments, puisque toute classe x non nulle est celle d’un entier premier avec p. Le théorème de Lagrange (dans un groupe G d’ordre n tout élément x vérifie x^n = e) donné donc légalité cherchée.
3. Considérons le morphisme : (Z/pZ)*->(Z/pZ)*  Z->Z^2 dont l’image est l’ensemble des carrés non nuls et le noyau est {1,-1} puisque Z/pZ est integre c’est à dire :  (z-1)(z+1) =0 mod p implique z-1 =0 mod p ou z+1=0 mod p. 

3.1) Si (-1) est un carre alors on peut ecrire (-1)= a^2 pour un element a et calculer de deux manieres differentes a^{p-1}.     

3.2 )En partant du fait que p = 4q +1, avec q entier au moins 1, il faut compter les solutions de x^{p-1}=1 de deux manieres differentes, en utilisant le raisonnement précédent; On en déduit que le nombre de carrés non nuls est (p-1)/2. Considérons maintenant le morphisme de groupes multiplicatifs (Z/pZ)*->(Z/pZ)*           Z->Z^(p-1)/2 on suppose que p n’est pas égal à 2; comme pour tout élément x non nul de Z/pZ on a x^(p-1)=1, on voit que l’ensemble des carrés est contenu dans le noyau. Cependant le noyau est formé des racines d’équation: x^(p-1)/2 - 1 = 0. On en déduit qu’un polynôme non constant de degré n sur un corps commutatifs (c’est le cas de Z/pZ) a au plus n racines.   D’où la conclusion.