Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous !

Vous donnez là la "fameuse équation" du 3ème degré, dont je parlais en #11 !

Et j'avais constaté des variations du même genre ...

Toutefois, l'affaire n'est pas "si simple", car le facteur (1 - 2yH), selon que yH < 0.5 ou > 0.5, joue un rôle sur le nombre de solution (me semble-t-il ?). En outre (pleine si possible d'un bon truc), le nuage de point se répartit, à priori (!) de part et d'autre de la parabole ...

Bernard-maths

Rebonjour,

Une manière assez facile, sans passer par les tangentes et normales ...

Soit H(xH ; yH) et un point A(a ; a²) de la parabole.

La distance D = AH = sqrt[(xH-a)² + (yH-a²)²]

Cette distance sera minimum pour la même valeur de a que lorsque D² sera minimum.

Il suffit donc de rechercher la valeur de a qui rend f(a) = (xH-a)² + (yH-a²)² minimum.

C'est forcément pour une valeur de a telle que f '(a) = 0

f '(a) = -2*(xH-a) - 4a(yH-a²) = 0

soit 2a³ + a(1 - 2.yH) - xH = 0  (on retombe sur la même équation qu'en passant par tangente, normale ...)
****

Si on étudiait les variations de f(a) = (xH-a)² + (yH-a²)² ...
on trouve 3 extrema locaux, 2 minima et un maximum (aux abscisses données par l'équation 2a³ + a(1 - 2.yH) - xH = 0)

Il faut ensuite calculer les valeurs correspondantes de D² ... pour choisir la valeur de a qui correspond au minimum minimorum.

Rebonjour,

Il est utile de comprendre pourquoi, la résolution de l'équation donne 3 solutions ... pour savoir laquelle choisir.

Voila un dessin pour le cas H(1 ; 4,5)

Il y a bien 3 valeurs de a pour lesquelles on peut tracer, passant par H, une normale  à la courbe représentée par f(x) = x²
(en rouge sur le dessin)

2 de ces valeurs de a correspondent à un minimum local de la distance entre H et un point se baladant sur la courbe de f(x).
La 3ème valeur correspond à un maximum local de cette distance.

Quand on a trouvé les valeurs de "a" correspondant aux minima, il reste à calculer les longueurs entre H et les points (a ; a²) ... pour trouver la bonne valeur de a à choisir.

A priori, la valeur de "a" qui convient est la plus grande (positive) si l'abscisse de H est > 0
La valeur de "a" qui convient est la plus négative si l'abscisse de H est < 0
Et si l'abscisse de H est = 0 ... les 2 valeurs extrêmes de a conviennent.

Bonjour

Merci beaucoup à tous pour votre aide. Black Jack a effectivement apporté sur l'autre forum la solution que j'attendais à mon problème, à savoir comment trouver une solution qui soit un réel lorsque $\Delta <0$ :

"Il y a 3 racines réelles que l'on peut trouver par une méthode
trigonométrique
[tex]R1 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3})[/tex]
[tex]R2 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3}+\frac{2\pi}{3})[/tex]
[tex]R3 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3}+\frac{4\pi}{3})[/tex]"

@Yoshi, WolframAlfa est très intéressant, merci, ça donne presque envie de payer pour voir la suite
@ Bernard-maths, j'avais déjà vu le lien que tu as indiqué dans mes précédentes recherche de solutions, mais je n'avais (et n'ai toujours pas compris sur cette page) comment résoudre la suite du problème quand $\Delta <0$ " à savoir ce que signifie ceci "L'application de la formule de Cardan amène à une solution X de la forme :

Cherchons un nombre dont le cube serait s + z sous la même forme a + b. Il vient, puisque ()2 = -1 :
a3 - 3ab2 + (3a2b - b3) = s + z

Il faut donc avoir a3 - 3ab2 = s et 3a2b - b3 = z et pour faire de même avec a - z, il suffirait de changer b en -b : la partie réelle est invariante.

La solution X serait ainsi de la forme : (a + b) + (a - b), soit x = 2a. C'est un nombre réel : la formule de Cardan fournit donc en fait systématiquement le zéro certain."

Mais grâce à Black Jack et sa solution, j'ai de toute façon ce dont j'ai besoin

Encore merci à tous

BonjourYoshi !

Oui la recherche d'une solution approchée m'a aussi occupé ! En fait j'ai tracé la fonction du 3ème degré associée, et je me suis rendu compte qu'il y avait une solution proche de i !? Mais on ne connaît pas i ... Et je suis trop occupé par les vacanciers ...

B-m

Bonjour à tous !

Je me suis dit ... Si I(i, i²), alors la tangente en I est : y - i² = 2i (x - i), coeff directeur 2i ! La normale en I a pour coeff directeur (-1/(2i)), et pour équation : y - i² = (-1/(2i)) (x - i) ...Si elle passe par H(xH, yH), alors on a l'équation en i :   yH - i² = (-1/(2i)) (xH - i) ...

Ce qui pour moi donne l'équation du 3ème degré en i : 2i³ + i (1 - 2yH) - xH = 0 ! C'est ce que Geom propose avec l'inconnue a !

Après ? Après, il faut suivre une méthode du type "Cardan" ... Voici une adresse de quelqu'un que j'ai croisé dans ma carrière, et que je n'ai pas revu : http://serge.mehl.free.fr/anx/equ_deg3.html

Bonne suite,

Bernard-maths

Rebonjour

Merci Yoshi, ton graphique m'a aidé à mieux visualiser les différentes fonctions, je ne connaissais pas Geogebra (les maths sont un peu loin pour moi, je suis un peu rouillé et pas à jour des outils sur internet).

@Pidelta : effectivement j'ai posté la même question sur un (seul) autre forum, afin d'avoir plus de chance d'obtenir des solutions à mon problème. Les réponses sur l'autre forum et sur celui-ci me sont toutes les deux utiles, et complémentaires. Désolé si cela dérange, mais personnellement je ne vois pas de mal à demander de l'aide à plusieurs personnes différentes.

Pour en revenir à mon problème, mon équation de base était effectivement erronée. L'équation correcte est $2i^3 + (1-2y_H)i - x_H=0$ ou pour éviter de confondre avec les nombres complexes $2a^3 + (1-2y_H)a - x_H=0$

Cependant j'ai toujours le même problème pour obtenir une solution dans certains cas avec Cardan, où j'obtiens une racine carré d'un nombre négatif dans le processus. Comment puis-je trouver une solution avec un nombre réel ?

Encore merci