Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous !

Je vais tout de suite présenter un Exemple 2 : La figure de Wiwaxia, donnée en #21.

Sur la 1ère figure, on reconnaît la forme du 23-gones, qui se parcourt dans le sens trigo direct, depuis le point P0 par ex, pour reprendre la numérotation de ses points. Les points de croisements sont marqués depuis P0, on en troue 9, simples. J'ai repris les couleurs des segments : rouge = 3 points de croisement, jaune = 2 points et vert = 1 point. Noir = 0 point.

Ce 23-gone est poly1 dont l'aire calculée par GeoGebra est 180.35 ... ce qui est bizarre !

D'un autre côté Aire = pol2+poly3+poly4+q1+t1+t2+t3 = 79.71 est l'aire des parties grisées, bien différente.

On est ici confronté à la notion de parti intérieure au 23-gone = parties grisées ; et on extérieur = parties non grisées ! Que ceux qui savent faire la différence entre intérieur et extérieur d'une courbe fermée nous donnent un "moyen simple", pour voir si ça correpond à ce que je pense ... MERCI !

La 2ème figure fait voir qu'en déplaçant le point P14 vers le haut, on peut faire coïncider les 3 points D, E et I en un seul, qui devient alors un point de croisement double.

On peut se poser la question : que sont les parties colorées par GeoGebra sur un figure plane fermée ?

Voir : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15168

En utilisant "le truc" de la droite sécante, on peut partir de l'extérieur, et à chaque intersection de la droite avec un côté / la courbe, on change : intérieur, puis extérieur ...

Si on passe par un point de croisement simple de 2 côtés, on franchit 2 côtés à la fois, donc on ne change pas de type "dedans / dehors" !

B-m

Bonjour,

Le calcul de l'aire algébrique d'un polygone ne pose aucune difficulté, parce qu'elle résulte de la somme de déterminants. Les ennuis surviennent avec celui de l'aire totale des surfaces délimitées par une ligne brisée fermée, en présence de points d'auto-intersection.
Cela amène d'ailleurs d'autres questions: comment distinguer l'intérieur de l'extérieur d'un contour fermé ? Quels coefficients attribuer aux aires des portions des surfaces délimitées par une boucle ? -1, 0, +1 ?
Je ne vois pas de solution générale, hors de calculs manuels dans des cas particuliers relativement simples.

Pour en revenir au sujet initial, la recherche des points d'auto-intersection peut être établie à partir de la comparaison des signes de déterminants: (AB) et (CD) présentent un point commun s'ils vérifient:

Det(AC, AD)*Det(BC, BD) < 0 ;
Det(CA, CB)*Det(DA, DB) < 0 .

Voici ce que donne la stricte application de ce critère dans le cas d'un polygone à 23 sommets, et 3 boucles superposées. Chaque arête peut recevoir une coloration caractérisant le nombre de points d'intersection (k = 1, 2, 3 ... :vert, jaune, rouge ...):

Le cas des points multiples passe par la localisation des intersections, et le calcul des distances qui les séparent. Leur probabilité d'occurrence n'est pas nulle si l'on travaille en coordonnées entières, par exemple (comme c'est le cas du présent programme) en nombre de pixels image.

Bonjour à tous !

A la suite de mes cogitations, j'ai trouvé sur le net, en tapant "aire d'un polygone croisé", ce site :

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/ … t.htm#poly

Il reste à adapter au cas du polygone croisé !?

Proposition ci-dessous :

Ici le polygone croisé ABCDEF est redessiné par symétrie verticale, ce qui permet de démarrer la formule en parcourant les sommets (au début) dans l'ordre trigo direct, ca qui permet de s'affranchir de abs dans la formule.

On présente les points dans un tableau vertical, avec leurs coordonnées. J'ai rajouté en coeff, le coefficient associé à chaque terme. Ce coeff se calcule de point en point, en tenant compte du "petit coeff de gauche" qui vaut -1 pour les points d'intersections des côtés ...

La méthode des lacets est expliquée par G. villemin ...

B-m

Bonjour Wiwaxia !

"Là, cela devient présomptueux, car une arête peut en recouper (N - 3) autres ... Ce n'est rien d'en faire l'inventaire, mais les classer !"

Tu me traites de jeune somptueux ! Il y avait un sketch comme ça ...

Je te donne quelques idées pour la suite ?

Ensuite … trier les points trouvés pour les insérer dans la liste des sommets … comment ?

On peut penser : pour chaque segment [Ai-1 Ai], du 1er au dernier, si il y a des points trouvés sur ce segment, chercher les coefficients kr tels que Vect(Ai-1Eqs) = krs Vect(Ai-1 Ai), et les insérer dans l’ordre des krs entre Ai-1 et Ai !
Si on a trouvé q points d’intersection, chacun interviendra 2 fois sur 2 segments (et les cas point triple ou multiple ?), la liste des sommets se rallongera de 2 q points.

Ensuite … pour la formule : on la commence avec un signe + ; à chaque terme qui débute par un point d’intersection, on change le signe devant le terme. On garde ce changement de signe jusqu’au prochain point d’intersection !

Voilà les idées principales à développer pour aboutir à un programme !

Ensuite penser aux points multiples !??? Là, le programme deviendra somptueux !

Bernard-maths

Bonjour Wiwaxia !

Merci pour l'artillerie lourde ! J'ai effectivement pensé, et mis en pratique sur GeoGebra la détection de 2 segments croisés, ou non.

eq1 et eq2 sont celles des droites (AB) et (CD). f(x,y) et g(x,y) sont les fonctions associées. fC et fD sont les valeurs de f en C et en D : si fC * fD < 0 alors C et D sont de part etd'autre de (AB). Pareil pour gA et gB, si gA * gB <0 , alors A et B de part et d'autre de (CD).

1ère figure : ainsi les segments [AB] et [CD] sont sécants en E !

2ème figure fC et fD de même signe, gA et gB aussi, segments non sécants ...

Remarque : il suffit qu'un seul des 2 produits soit positif pour avoir les segments non sécants !

Mais il faut généraliser à un polygone de n sommets ... Alors je pense à un programme de ce genre :

initialisations diverses, dont :
q <-- 1
Pour i = 1 à n
    Pour p = i+1 à n ???
        Si [Ai-1 Ai] et [Ap-1 Ap] sont sécants
            Alors     Eq = point sécant
                q <-- q+1 et enregistrer les 2 segments
        Fin Si
    Fin Pour p
Fin Pour i

Ensuite, il faut mettre les point Eq aux bons endroits dans la liste des sommets !!!

Et là, aucune idée pour le moment ... enfin peu ...

Bonne cogitation à tes instants libres !

Bernard-maths

Bonjour à tous !

La famille traine, alors je reprends la plume !

Voici la formule préparée pour le quadrilatère-hexagone : Aire2 =

0.5abs(+(x(A) y(B) - y(A) x(B)) + (x(B) y(E) - x(E) y(B)) + (x(E) y(C) - x(C) y(E)) + (x(C) y(D) - x(D) y(C)) + (x(D) y(E) - x(E) y(D)) + (x(E) y(A) - x(A) y(E)))

On y a écrit la somme de 6 termes (entre parenthèses), avec des signes + en rouge.

Alors, réfléchissons un peu ... Si on regarde le quadrilatère non croisé, ou l'hexagone, pour établir la formule Aire, on parcourt les sommets en tournant dans le sens des aiguilles (d'un montre analogique). Si on regarde le quadrilatère croisé, on voit qu'on parcourt A, B et E selon les aiguilles, mais une fois franchit E, on parcourt E, C et D en sens contraire des aiguilles ...

On peut dire qu'il y a 2 triangles ABE et ECD, ABE dans le sens des aiguilles, et ECD en sens contraire des aiguilles ! Vu ?

Au passage par E le sens de parcours changeant, il en est de même des signes des termes associés ...

Il faut donc changer des signes + en signes - !!! D'où ma proposition de formule Aire2 =

0.5abs(+(x(A) y(B) - y(A) x(B)) + (x(B) y(E) - x(E) y(B)) - (x(E) y(C) - x(C) y(E)) - (x(C) y(D) - x(D) y(C)) - (x(D) y(E) - x(E) y(D)) + (x(E) y(A) - x(A) y(E)))

Chaque fois que le terme commence par x(E), on change les signes : le 3ème de + à -, après on continue avec -, au 4ème et au 5ème, et au 6ème on change à nouveau, - en + ... gymnastique de l'esprit ...

Vous pouvez vérifier ... Essayez de trouver la formule Aire2 pour l'hexagone-nonagone (12 termes).

Réponse demain, Bernard-maths.

PS à Yoshi, Wiwaxia, et autre programmeur ... ou non.

1°) Comment savoir si 2 côtés d'un polygone sont sécants (en un point ...) ?

2°) Peut-on envisager un programme restreint, ou général ?

Bonsoir à tous !

Je poursuis avec 2 exemples traités façon-façon !

Quadrilatères et Hexagones, non croisés à gauche, puis croisés à droite :

A gauche, dans la partie Algèbre, on voit q1 et Aire qui ont la même valeur 42 ; q1 est l'aire calculée par GeoGebra, Aire par la formule donnée précédemment. Aire2 = ? est une formule adaptée à la figure de droite, qui ne donne rien ici !

A droite, le quadrilatère est croisé, le point E est le point d'intersection des 2 côtés croisés, placé manuellement !

q1 et Aire donnent encore la même valeur 2, qui est manifestement fausse : Par contre Aire2 = 10 donne la bonne réponse ...

On retrouve les mêmes remarques : ici on a poly1 et Aire qui vont ensemble et donnent 55.5, Aire2 = ? est pour la figure croisée de droite.

A droite l'hexagone se croise 3 fois en G, H et I, placés manuellement ! On peut vérifier que Aire2 = 21.5 est le bon résultat à droite, alors que poly1 = Aire = 0 est vraiment faux !

Il y a donc moyen de trouver une formule adaptée à chaque cas, en plaçant manuellement les points de croisements ...

Demain, je vous détaillerai la méthode que j'ai trouvée, vous avez quelques heures pour chercher !

Bonne nuit ! Bernard-maths.

Bonjour,

J'ai Pythonné  un script avec max() et abs() et je je me suis vite rendu compte que, dans ce cas particulier, l'aire de ABC n'est pas
A_rectangle-(A_tr1+A_tr2+A_tr3) parce que $\hat B$ est obtus et qu'il faut encore retirer un petit rectangle dont un sommet est B (ici ABC est isocèle, donc le rectangle est un  carré)...
Ma problématique actuelle est la suivante : via des comparaisons d'abscisses et ordonnées, comment savoir si un angle est obtus...
Sinon ça fonctionne !

@+

[EDIT]Arf ! j'ai pris trop de temps à écrire et j'ai posté une réponse à l'aire du triangle après le dernier post de Bernard qui était déjà au taquet.
Pas de bol...