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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Roro
- 29-06-2022 21:08:26
Bonsoir,
Il y a un truc qui me parait louche dans ce que tu écris :
Je considère [tex]\gamma : I\to \mathbb{R}^2[/tex] une courbe paramétrée de classe [tex]C^2[/tex].
[...]
J'ai écrit que [tex]\gamma_1^{'}(t)=(\frac{\gamma^{'}(t)}{\|\gamma^{'}(t)\|},0)[/tex]
Pour moi, $\gamma'(t)$ est un vecteur du plan... et je ne sais pas ce que vient faire $(\frac{\gamma^{'}(t)}{\|\gamma^{'}(t)\|},0)$.
Pour revenir à ta question, j'ai simplement l'impression que tu utilises que $\det(\overrightarrow u,\overrightarrow u+\overrightarrow v)=\det(\overrightarrow u,\overrightarrow v)$, et que $\det(a\overrightarrow u,\overrightarrow v) = a\det(\overrightarrow u,\overrightarrow v)$.
Roro.
- Vincent62
- 29-06-2022 19:08:39
Bonjour,
Je considère [tex]\gamma : I\to \mathbb{R}^2[/tex] une courbe paramétrée de classe [tex]C^2[/tex]. Alors pour tout [tex]t\in I[/tex], [tex]k(t)=\frac{|det(\gamma^{'}(t),\gamma^{''}(t))|}{\|\gamma^{'}(t)\|^3}[/tex].
Pour la démonstration, on note [tex]\gamma_1=\gamma\circ s_{t_0}^{-1}[/tex] la paramétrisation par abscisse curviligne, avec [tex]t_0\in I[/tex], et on pose [tex]s=s_{t_0}(t)[/tex].
On démontre alors que [tex]\gamma_1^{'}(s)=\frac{\gamma^{'}(s_{t_0}^{-1}(s))}{\|\gamma^{'}(s_{t_0}^{-1}(s))\|}[/tex] et [tex]\gamma_1^{''}(s)=\frac{\gamma^{''}(s_{t_0}^{-1}(s))}{\|\gamma^{'}(s_{t_0}^{-1}(s))\|^2}+\lambda(s)\gamma^{'}(s_{t_0}^{-1}(s)))[/tex].
Je comprends les calculs, mais je ne comprends pas comment on en déduit que [tex]det(\gamma_1^{'}(t),\gamma_1^{''}(t))=\frac{det(\gamma^{'}(t),\gamma^{''}(t))}{\|\gamma^{'}(t)\|^3}[/tex].
J'ai écrit que [tex]\gamma_1^{'}(t)=(\frac{\gamma^{'}(t)}{\|\gamma^{'}(t)\|},0)[/tex] et [tex]\gamma_1^{''}(t)=(\lambda(s),\frac{\gamma^{''}(t)}{\|\gamma^{'}(t)\|})[/tex] pour avoir [tex]det(\gamma_1^{'}(t),\gamma_1^{''}(t))=\frac{\gamma^{'}(t)\gamma^{''}(t)}{\|\gamma^{'}(t)\|^3}[/tex]...
Bon, là je ne vois pas.
Merci pour votre aide !