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C'est encore plus simple en effet!

Salut,

  Sauf si je n'ai pas compris quelque chose, j'ai l'impression que la majoration de Roro ne donne pas une majoration uniforme en $a$ (il faut que le $n_0$ soit indépendant de $a$).
Voici une possibilité - mais ce n'est sans doute pas celle à laquelle l'auteur de l'exercice pensait?

On sait qu'il existe $x_0>0$ tel que, pour $x\in [0,x_0]$, on a

$$\ln(1+x)\leq x-\frac{x^2}4$$

-- ceci peut se voir en utilisant le DL de $\ln(1+x)$ en $0$ à l'ordre 2. --

Soit $n_0$ tel que $1/\sqrt{n_0}\leq x_0$. On a donc, pour $n\geq n_0$, en appliquant l'inégalité précédente à  $x=a/\sqrt n$,

$$\ln(1+a/\sqrt n)\leq \frac{a}{\sqrt n}-\frac{a^2}{4n}$$

En multipliant par $n-1\leq n$,

$$(n-1)\ln(1+a/\sqrt n)\leq  a\sqrt n-\frac{a^2}4$$

Prenant l'exponentielle, et multipliant finalement par $e^{-a\sqrt n}$, on trouve finalement :

$$0\leq f_n(a)\leq \exp(-a^2/4)$$

qui doit répondre à ton problème.

F.

Bonjour,
Dans le but d'une application du théorème de convergence dominée, je suis amené à trouver un majorant, indépendant de [tex]n[/tex], de l'expression suivante :

[tex]f_n(a)=\big(1+\frac{a}{\sqrt{n}}\big)^{n-1}e^{-a\sqrt{n}}[/tex], avec [tex]a\in [0,1][/tex] et [tex]n\ge 1[/tex].

Je parviens à majorer [tex]f_n[/tex], mais jamais il y a toujours du [tex]n[/tex] qui traîne.

Par ailleurs, j'ai montré que [tex]\lim_{n\to +\infty} f_n(a)=e^{-\frac{a^2}{2}}[/tex].

J'ai également pensé à utiliser le théorème de convergence monotone, et à considérer le quotient [tex]\frac{f_{n+1}(a)}{f_n(a)}[/tex] pour montrer que la suite [tex]f_n[/tex] est croissante, sans succès.

Pouvez-vous me donner un indice ?

Merci !