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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Vincent62
- 09-06-2022 11:35:23
La vache, merci !!
- Fred
- 09-06-2022 10:23:06
Oui, on ne demande que les composantes de $p+1$ à $n$ sot nulles dans ton cas.
- Vincent62
- 09-06-2022 08:08:36
Bonjour Fred.
D'accord, je vois. On complète donc en quelque sorte [tex]\mathbb{R}^p[/tex].
Par contre, je ne vois toujours pas pourquoi [tex]\phi(x)=0[/tex] pour tout [tex]x\in M[/tex].
En effet, pour tout [tex]x\in M[/tex], on a [tex]\phi(x_1,...,x_p,0,...0)=(x_1,...,x_p,0,...,0)[/tex].
Je crois qu'en fait on ne demande pas que [tex]\phi(x)=0[/tex] pour tout [tex]x\in m[/tex], mais qu'une partie des composantes de [tex]\phi[/tex] soit nulle...
Si je prends par exemple [tex]M=\{(x,f(x))\in \mathbb{R}^2,x\in [0,1]\}[/tex], alors M est une sous-variété de dimension [tex]1[/tex]. Pour le voir, on considère [tex]\phi : (x,y)\to (x,y-f(x))[/tex].
Se faisant, on obtient que pour tout [tex]x\in M, \phi_2(x,y)=y-f(x)=0[/tex].
- Fred
- 09-06-2022 07:19:23
En fait, j'ai l'impression qu'il y a déjà un problème quand tu écris $\mathbb R^n\cap \mathbb R^p$. Cela n'a pas vraiment de sens. Ici, tu dois voir $\mathbb R^p$ comme partie de $\mathbb R^n$, et donc considérer $M=\mathbb R^p\times\{(0,\dots,0)\}\subset\mathbb R^n$.
- Vincent62
- 08-06-2022 10:33:03
J'ai écrit n'importe quoi.
Merci Fred.
On considère [tex]M=\mathbb{R}^p[/tex] et [tex]U=\mathbb{R}^n[/tex].
Je dois alors montrer qu'il existe une application [tex]\phi : \mathbb{R}^n\to V[/tex] tel que [tex]\phi(x)=0[/tex] pour tout [tex]x\in M=\mathbb{R}^p[/tex] et [tex]\phi(\mathbb{R}^n\cap \mathbb{R}^p)=V\cap (\mathbb{R}^p\times {0})[/tex].
On choisit alors l'identité.
Bon, je n'en suis plus à une énormité près, alors que vient faire ici le [tex]\phi(x)=0[/tex] pour tout [tex]x\in M=\mathbb{R}^p[/tex] ?
Les coordonnées [tex]x_{p+1},...,x_n[/tex] sont envoyées sur [tex](0,...,0)[/tex]. Dans la définition, on demande que toutes les coordonnées de [tex]x[/tex] soient envoyées en particulier dans un voisinage de [tex]0[/tex].
Merci encore pour les réponses apportées sur ce forum.
Travailler uniquement avec des livres et sans prof, on perd un temps considérable !
- Fred
- 08-06-2022 09:09:45
Re-
On ne peut pas considérer $U=\mathbb R^p$ car $\mathbb R^p$ n'est pas un ouvert de $\mathbb R^n$!
Et puis, que signifie $(x_1,\dots,x_n)$ si $x\in\mathbb R^p$???? Ici, tu dois choisir $U=\mathbb R^n$, et $\phi$ est bien l'identité.
Ce que dit la définition, c'est que $\mathbb R^p$ est difféomorphe à $\mathbb R^p\times\{(0,\cdots,0)\}$.
F.
- Vincent62
- 08-06-2022 08:52:15
Bonjour,
Toujours moi et mes sous-variétés.
Je considère la définition suivante.
Soient [tex]M\subset \mathbb{R}^n[/tex] et [tex]p\in \mathbb{N}[/tex]. On dit que [tex]M[/tex] est une sous-variété de dimension [tex]p[/tex] si pour tout [tex]x_0\in M[/tex], il existe [tex]U\subset \mathbb{R}^n[/tex] ouvert voisinage de [tex]x_0[/tex], [tex]V\subset \mathbb{R}^n[/tex] ouvert voisinage de [tex]0[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex], et un difféomorphisme [tex]\phi : U\to V, x\to (\phi_1(x),...,\phi_n(x))[/tex] tels que [tex]\phi(x_0)=0[/tex] et [tex]\phi(U\cap M)=V\cap (\mathbb{R}^p\times \{0\})[/tex].
Ca, je l'ai digéré. Cela signifie en particulier que [tex]\forall x\in M\cap U[/tex], on a [tex]\phi_{p+1}(x)=...=\phi_{n}(x)=0[/tex].
J'essaye d'appliquer cette définition à [tex]M=\mathbb{R}^p[/tex], pour montrer que c'est une sous-variété de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] de dimension [tex]p[/tex].
Là, je vois qu'il faut considérer [tex]\phi=Id_{\mathbb{R}^n}[/tex] et [tex]U=\mathbb{R}^p\subset \mathbb{R}^n[/tex].
On a ainsi [tex]\phi=Id : \mathbb{R}^p\to V, x\to (x_1,...,x_n)[/tex]. Par contre, je n'ai pas [tex]\phi(x_0)=0[/tex] pour tout [tex]x_0\in \mathbb{R}^p[/tex]...
Ce qu'on veut ici, c'est que le voisinage de chacun des points de [tex]M=\mathbb{R}^p[/tex] soit envoyé sur l'intersection d'un voisinage de [tex]0[/tex] un morceau d'un sous-espace vectoriel de dimension [tex]p[/tex].
Est-ce que l'identité n'est pas le bon difféomorphisme à considérer ?