Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re,

Bel effort.
Pour voir les formules, il faut penser à les encadrer avec les balises tex et /tex (1er icône à gauche de la barre d'outils des messages : sélection de la formule puis clic sur l'icône) ou encore mettre un dollar en début de formule et un autre en fin...
Exemple.
Tu as écris :
\lim_{n \to \infty}  \sqrt[n]{u_n} je mets un dollar devant et un derrière et on obtient : $\lim_{n \to \infty}  \sqrt[n]{u_n}$
Si tu veux faire plus joli, intercale \limits juste après \lim, comme ça :
\lim\limits_{n \to \infty}  \sqrt[n]{u_n} je mets un dollar devant et un derrière et on obtient : $\lim\limits_{n \to \infty}  \sqrt[n]{u_n}$

@+

De retour,

Cette notation de Landau n'est pas si compliquée. Tu peux jeter un coup d'oeil à ceci -aussi pour les croissances comparées-

https://www.bibmath.net/dico/index.php? … andau.html

Tu peux voir qu'à partir du rang $n_0=260$ environ : $0 \lt (\dfrac {1}{2})^{\sqrt{n}} \lt \dfrac {1}{n^2}$, ce qui suffit pour conclure à la convergence de la série.
Par contre tu peux voir que pour n=18 environ c est $(\dfrac {1}{2})^{\sqrt{n}}$ qui est presque 20 fois plus grand que $\dfrac {1}{n^2}$, ce qui ne change rien à la conclusion précédente, puisque cette minoration par 1/n^2  vaut pour un nombre fini de termes (260)

c'est un comportement asymptotique qui peut être traduit comme suivant :

$ \forall \epsilon \gt 0, \exists n_0$ tel que $ \forall n \gt n_0, 0 \lt u_n \lt \frac {1}{n^2}.\epsilon$

J ai enlevé les valeurs absolues dans le cas de ton sujet

Pour $\epsilon=10^{-6}$ tu as $n_0 \simeq 855$

Re,
en fait on pourrait comparer avec $n^a*u_n$ quel que soit $\alpha \gt 1$ (série de Riemann convergente). Donc $\alpha=2,3,4..$ conviennent et on prend $\alpha=2$ par convention.
Mais suivant la question : $\alpha \gt 1$ peut suffire...
J'ai essayé d'être le plus clair possible mais d'autres que moi sont susceptibles de d'expliquer tout çà plus en détail.

Quant au latex j'ai eu un peu de mal aussi au tout début. Tu peux voir cette page :

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943

On s'y fait vite.

Re,
j'essaie de cibler au mieux ce que tu essaies de comprendre.
pour reprendre ce qu'écrit Fred, il s'agit de voir quelle est la série qui converge le plus rapidement vers 0 :
Est ce la série de terme général positif $u_n$=$(\frac {1}{2})^{\sqrt{n}}$=$exp(-ln(2)*\sqrt{n})$ converge plus rapidement vers $0$ que la série de terme général positif $w_n$=$exp(-2ln(n))=\dfrac {1}{n^2}$ ?

Plus précisement existe t il un nombre $n_0$ de $\mathbb N$ tel que pour ton entier plus grand que $n_0$, $-ln(2)\sqrt{n} \lt -2ln(n) \lt 0$.

Il reste à voir quelle est le terme qui tend le plus vite vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ (du moins croissant vers le plus croissant) :
$\sqrt{n}$, $ln(n)$ et $n^2$.
En d'autres termes, c'est une question de vitesse de divergence de ces 3 termes vers $+\infty$

Tu dois faire une majoration des termes carrés. Tu majore ta somme au rang n par la somme jusqu'au premier entier carré supérieur à n ,[tex](\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor +1)^2 [/tex], puis dans cette somme tu peux regrouper par termes carrés [tex] \sum_{k=1}^{(\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor+1)^2)} \, (\dfrac{1}{2})^{\sqrt{k}}\,= \, \sum_{k=1}^{\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor} \sum_{i=k^2}^{k^2-1} (\dfrac{1}{2})^{\sqrt{i}}\, \leqslant\,\sum_{k=1}^{\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor} 2*k*((\dfrac{1}{2})^{k}) [/tex] et c'est un terme de série absolument convergent, donc par croissance et majoration ta série converge.

Bonjour,
il y a une erreur d'écriture dans ta somme..
La comparaison avec une série de Riemann convergente (typiquement la série servant de comparaison est $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{n^2}= \frac {\pi^2}{6}$) est utilisée pour les séries dont le terme général est de même signe (positif ici).
C'est peut être la notation de Landau qui te pose des soucis