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Bonjour,

On ne peut pas exprimer une primitive de cette fonction ([tex]f(x) = e^{-x²}[/tex]) par une somme finie de fonctions élémentaires.
On ne peut le faire qu'avec l'aide d'une fonction dite "spéciale" ou bien par une série avec une infinité de termes.

Ce n'est pas la seule fonction qui est dans le cas, il y en a beaucoup d'autres, par exemples :

f(x) = sin(x)/x
f(x) = cos(x)/x
[tex]f(x) = \sqrt{1-k^2.\sin^2(x)}[/tex]
f(x) = 1/ln(x)
...

Lorsqu'on rencontre fréquemment une de ces formes, on a développé une fonction spéciale associée qui permet d'exprimer une primitive (ou de calculer une intégrale) sans devoir recourir à des séries avec une infinité de termes.

Dans le cas de la fonction [tex]f(x) = e^{-x²}[/tex], la fonction spéciale qui a été étudiée pour les primitives ou intégrales est la fonction d'erreur que l'on note erf(x), voir par exemple sur ce lien :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_d%27erreur

Bonjour,

Ta question n'est pas très précise car l'expression "difficile à calculer" dépend de la personne qui reçoit la question !

De mon point de vue il y a deux types d'intégrales :

1/ celles dont on sait calculer explicitement la valeur (en général avec des méthodes classiques, parfois lourdes mais finalement très académiques, comme les primitives de fractions rationnelles dès lors qu'on sait faire la décomposition en éléments simples) -> tu en trouveras plein d'exemples sur le web, y compris sur ce site.

2/ celles pour lesquelles il n'y a pas d'expression explicite. On a alors recours à des fonctions spéciales mais on ne peut pas dire qu'on a "résolu" le problème (qui n'a pas de solution) -> exemple $I = \int_0^3 \mathrm e^{-t^2} \mathrm dt$.

J'imagine que tu cherches dans la première catégorie, mais comme je l'ai dit, ça dépend du niveau et des connaissances ces personnes à qui tu vas demander, et surtout, en cherchant un minimum sur internet, tu en trouveras plein. Par exemple ici : https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo

Roro.