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Je n'ai pas vérifié les calculs mais en tout cas la démarche est correcte.
Par contre, pour présenter les résultats, on commence par regrouper tous les termes de degré 1, puis tous les termes de degré 2, etc....

Bonsoir,

  Non, cela ne va pas. Ce que tu cherches à faire, c'est faire la même chose que quand tu fais un développement limité d'une fonction d'une seule variable.
Si tu fais un DL d'une fonction $g:\mathbb R\to\mathbb R$ à l'ordre $2$ et $1$, ce que tu écris c'est
$$f(h)=f(0)+f'(0)h+f''(0)h^2/2+o(h^2).$$
Si tu fais le DL en 1, tu écris
$$f(1+h)=f(1)+f'(1)h+f''(1)h^2/2+o(h^2).$$

Ce n'est pas ce que tu as fait. D'une part, tu as oublié le reste. D'autre part, par exemple en $(0,0)$, tu dois commencer
par $f(h_1,h_2)=f(0,0)+\cdots$.

F.