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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bridgslam
- 29-03-2022 14:08:45
Enfin une autre façon de procéder:
La diagonale $\Delta$ de $\mathbb{R}^2$ est un fermé homéomorphe à $\mathbb{R}$.
Vu que l'application $h : (x,y) \rightarrow (\;f(x), y \;) = ( f \;o \;p_1 (x,y) , \;p_2(x,y) \;)$ est continue puisque f et les projections le sont, on voit que $T_f = h^{-1}( \Delta) $ est fermé.
Cette dernière "vue" généralise donc la question (en éludant ainsi dans la foulée tout calcul numérique) en remplaçant $\mathbb{R}$ par n'importe quel espace topologique X séparé ( la diagonale y étant fermée dans XxX).
Ainsi c'est reformulable de cette manière :
Soit X un espace topologique séparé et f: X -> X une application continue. Alors le graphe de f est fermé dans $X^2$ ( pour la topologie produit)
A.
- bridgslam
- 29-03-2022 12:03:33
Bonjour,
Comme contre-exemple il suffit de prendre la fonction partie entière E, non continue.
le point (1,0) est adhérent à $T_E$, mais E(1) = 1, donc ce point n'est pas dans $T_E$
Puis un exemple de fonction non continue au graphe fermé: x -> 1/x et f(0) = ce qu'on veut.
Son graphe est la réunion de 3 fermés, donc fermé.
A.
- bridgslam
- 29-03-2022 11:56:02
Une autre possibilité par caractérisation séquentielle.
Soit $( (x_n, y_n) )$ une suite quelconque d'éléments de $T_f$ convergente vers (x,y) dans $\mathbb{R}^2$.
La suite $(y_n)$ coïncide avec la suite $( f(x_n) )$ de limite f(x) (car f est continue) , donc la limite y de $( y_n)$ est égale à f(x).
Comme y = f(x), le couple (x,y) est dans $T_f$
$T_f$ est donc fermé puisque contenant les limites de ses suites convergentes.
A.
- bridgslam
- 29-03-2022 10:50:43
Bonjour,
Une solution moins académique, avec les boules ( en fait les pavés, en choisissant la norme $\infty$, ça revient au même ).
Si (x,y) est dans $T_f^c $, $y \ne f(x)$, donc $\exists \alpha > 0 \; |x'-x| < \alpha => f(x') \ne y$.
Le pavé ouvert de centre (x,y) de côté $2\alpha$ est donc dans $T_f^c $.
Cet ensemble étant voisinage de chacun de ses points, il est ouvert, $T_f$ est donc fermé.
A.
- Fred
- 28-03-2022 23:13:43
Bonjour,
On peut s'y prendre de plusieurs façons. Une des possibilités est de démontrer que $T_f$ est l'image réciproque d'un fermé par une application continue. Voici une possibilité. Tu peux considérer $g:\mathbb R^2\to\mathbb R, (x,y)\mapsto y-f(x)$. La continuité de $f$ fait que $g$ est continue. Maintenant,
$$(x,y)\in g^{-1}(\{0\})\iff g(x,y)=0\iff y-f(x)=0\iff y=f(x)$$
et donc $T_f=g^{-1}(\{0\})$. Il te reste pour conclure à remarquer que $\{0\}$, comme tous les singletons ou tous les intervalles fermés, est un fermé de $\mathbb R$.
F.
- lkiop562
- 28-03-2022 21:44:10
Bonjour,
J'essaie de résoudre un exercices sur les espaces ouverts et fermés, mais je suis un peu perdu pour le coup :
Soit f: R→R et [tex]T_{f} = [/tex]{[tex](x,f(x))\in R^2 : x\in R[/tex]} son graphe. On suppose que f est continu. Montrer que [tex]T_{f}[/tex] est fermé dans R².
Sauf que pour le coup je suis assez perdu, je sais que x [tex]\in[/tex] ]-inf, +inf[ qui est un fermé de R, mais ce n'est pas ce qui est demandé.
En classe, quelqu'un a essayé de m'aiguiller, mais je n'ai pas compris grand chose à ses explications. En gros il m'a dit de poser f(x) = y, et qu'à la fin du raisonnement je devais trouver {0} qui est un fermé. Même si pour le coup, je ne suis plus vraiment certain que ce soit bien ça.
Si quelqu'un aurait une idée de comment procéder, je suis preneur.
Cordialement.