Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

  Ce n'est pas si facile. C'est naturel de calculer $|S|^2=S\bar S$. En développant, on trouve

$$|S|^2=\sum_{k,l=0}^{n-1} \exp\left(\frac{2i\pi (k^2-l^2)}n\right)=\sum_{k,l=0}^{n-1} \exp\left(\frac{2i\pi(k-l)(k+l)}n\right).$$

L'idée est ensuite de faire le changement de variables $(s,t)=(k-l,k+l)$. Si $(k,l)$ parcours $\{0,\dots,n-1\}^2$, $(s,t)$ parcourt un ensemble un peu compliqué $A$ mais ce n'est pas très grave de ne pas connaitre $A$ car il suffit de connaitre $A$ "à  $n$ près". Plus précisément, on a $\exp\left(\frac{2i\pi st}n\right)=\exp\left(\frac{2i\pi uv}{n}\right)$ si $s=u+r\times n$ et $v=v+r'\times n$. Autrement dit, ceci ne dépend que de la classe de $(s,t)$ dans $\mathbb Z/n\mathbb Z\times \mathbb Z/n\mathbb Z$. Maintenant,
il faut remarquer que $(k,l)\mapsto (k+l,k-l)$ est une bijection de $\mathbb Z/n\mathbb Z$. Ceci se démontre en faisant la résolution du système, et c'est le point où on utilise que $n$ est impair (de sorte que $\bar 2$ est inversible dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$).

Ainsi, on a prouvé que
$$|S|^2=\sum_{s=0}^{n-1}\sum_{t=0}^{n-1}\exp\left(\frac{2i\pi st}n\right)$$
et la conclusion est maintenant "standard".

F.

bonjour, pouvez-vous m'aider.  merci. Anastase

bonjour ok Paco

il manque la racine, c'est mon mauvais latex...... bonne soirée merci de vos remarques et de vos aides

   A

bonjour,

j'ai oublié une hypothèse; n est impair

merci de votre indulgence

bonne soirée Anast.

Bonsoir.

Le résultat demandé est faux pour $n \neq 1$.

Paco.

bonjour,
je souhaite une aide pour le sujet que voici:

\varsigma=exp(\frac{i2\pi }{n}) soit S=\sum_{0}^{n-1}\sigma ^{k^2}

montrer que  \left|S \right|=n

  sos merci prenez soin de vous

Anastase. (j'ai essaye
sans résultat)