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Je continue Fred.
Le but de l'exo est d'étudier la compacité de [tex]G[/tex] dans[tex] (C([0;1]),||.||_{\infty})[/tex], tout ça dans le contexte du théorème d'Ascoli.

Bon, [tex]G[/tex] est équicontinue.
Je souhaite maintenant montrer que G est bornée, c'est-à-dire que [tex]\exists M\in ]0;+\infty[, \forall f_n \in G, sup_{f_n \in G}||f_n||_{\infty}\le M[/tex].

Cela revient donc à chercher [tex]\sup_{f_n \in G} sup_{x\in [0;1]} |f_n(x)|[/tex], et pour cela je peux continuer l'étude de fonction amorcée précédemment avec le calcul de la dérivée.

Si je réussis à trouver ce [tex]M[/tex], alors par le théorème d'Ascoli, G sera relativement compact dans [tex]C([0;1])[/tex].

Est-ce que ce que je raconte est correct ?

Aussi, on voit que [tex]f_n\to 0[/tex] lorsque [tex]n\to \infty[/tex], mais que la fonction identiquement nulle n'est pas un élément de [tex]G[/tex], et donc [tex]G[/tex] n'est pas compact dans [tex]C([0;1])[/tex].

Bonjour,

  Je pense que tu n'as pas bien compris ce que voulait dire "équicontinu".
Pour qu'une fonction $f$ soit continue, pour chaque $x$, pour chaque $\varepsilon>0$, tu dois pouvoir choisir $\delta$ (qui dépend de $f$) de sorte que si $|x-y|<\delta$, alors $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Un ensemble $\mathcal F$ de fonctions est équicontinu si, pour chaque $x$ et chaque $\varepsilon>0$, tu peux choisir le même $\delta$ pour toutes les fonctions de $\mathcal F$ :
$$\forall x, \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0,\ \forall x\in\mathcal F, \forall y, |x-y|<\delta\implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon.$$

Si tu n'as qu'une seule fonction, le choix de $\delta$ en fonction de $\varepsilon$ est facile si la fonction est $M$-lipschitzienne : il suffit de choisir $\delta=\varepsilon/M$. C'est pourquoi si tu as un ensemble de fonctions qui sont toutes $M$-lipschitziennes (avec le même $M$ qui convient pour toutes les fonctions), alors ces fonctions sont équicontinues.

F.