Répondre

maths48 · 13-02-2022 11:55:37

Bonjour,

Voici ce que j'ai fait en suivant vos conseils : https://www.cjoint.com/c/LBnk2PJIZnA

Qu'en pensez-vous ?

bridgslam · 13-02-2022 08:35:38

Bonjour,

A partir de tes inégalités en log, reviens directement à ce qui est intéressant, en prenant l'exponentielle, strict. Croissante comme la fonction logarithme... Les inégalités se conservent.

A.

maths48 · 12-02-2022 21:38:16

Voici ce que j'ai fait : https://www.cjoint.com/c/LBmuKCPVQYA

Je ne comprends pas comment faire le passage où j'ai mis la flèche bleue...

Merci encore de votre aide bridgslam,
Bonne soirée

bridgslam · 12-02-2022 18:26:12

Bonsoir,

$ k \le ln(z)/ln(\alpha) \lt k+1$ .

peux-tu multiplier le tout par $ln(\alpha)$ sans changer les inégalités, pourquoi?
Utilises ensuite la propriété fondamentale de ln, qui est aussi str. croissante.

Tu dois en déduire deux inégalités, puis par division arriver à $ 1 \le z/\alpha^k \lt \alpha $...

Qu'a de particulier le nombre réel central dans les inégalités?
Il reste à utiliser la question précédente et c'est gagné !

A.

maths48 · 12-02-2022 17:30:02

C'est parce que je me suis mélangé les pinceaux avec la question 4 où on finit par montrer que z = 1 et du coup j'ai remplacé mais c'est d'un autre z dont il est question ici...

Voici ce que j'ai fait mais là j'avoue que je sèche : https://www.cjoint.com/c/LBmqxxemOuA

bridgslam · 12-02-2022 16:27:05

Bonjour,

cela me paraît bon.
Par-contre pour la 5 je ne comprends pas ce que tu as fait (pourquoi ln (1) ?)
Ecris la définition de la partie entière, tu obtiens une inégalité, tu divises par quelque chose qui te ramène à la question 4... et tu remontes

bonne soirée

A.

maths48 · 12-02-2022 16:07:40

Voici ce que j'ai fait pour montrer qu'elle est bijective : https://www.cjoint.com/c/LBmpgJeSnPA

Qu'en pensez-vous ?

bridgslam · 12-02-2022 11:39:03

Bonjour,

Le groupe G (infini, déjà vu) est d'après la dernière question engendré par un élément ( ça marche avec $\alpha$ d'après ce qui précède)
Tu peux montrer qu'alors ( c'est général ) il est isomorphe à $(\mathbb{Z} , + )$:

k -> $\alpha^k$ est bien définie, surjective (pourquoi ?) et injective ( l'infinitude de G a un rôle à jouer).
De plus c'est un morphisme...

$\alpha$ et son symétrique jouent au niveau du groupe le même "rôle " que 1 et -1 dans $\mathbb{Z} $

Bon courage
A.

maths48 · 12-02-2022 11:05:26

4 : Heureusement que vous me l'avez dit, j'aurais pu chercher encore longtemps...

6 : J'ai abandonné l'idée de montrer qu'elle est injective et surjective pour montrer qu'elle est bijective vu que je n'arrive pas à calculer le noyau.
Je veux maintenant montrer que pour tout y de G, il existe un unique x dans Z tel que phi(x^k) = y
<=> k = y

Mais est-ce suffisant pour montrer que ce y est unique...?

Merci d'avance de me lire encore,
Bonne journée

bridgslam · 11-02-2022 16:21:29

maths48 a écrit :

Pour la 4.c. J'ai toujours le même problème je trouve bien le 1 à gauche de z mais impossible de trouver 1 à droite et de dire 1 =<z =<1 donc z = 1...
[...]

Si tu essaies de montrer cela, c'est que z n'existe pas... et donc impossible à prouver.
a et b sont des entiers, il n'y a pas 1000 possibilités avec les possibilités d'intervalles trouvés pour a et b.
Tu remarqueras que seul a= 1 et b = 0 peuvent convenir pour vérifier $a^2 -2b^2 = 1$ et l'hypothèse sur z, donc z = 1.
Déjà $a^2 doit être impair etc

Bon courage
A.

maths48 · 11-02-2022 10:24:52

Merci yoshi c'est très complet déjà !

yoshi · 11-02-2022 08:41:15

Bonjour,

PS : Je ne sais pas utiliser Latex auriez-vous des conseils pour apprendre ?

Une mise à l'étrier non exhaustive :
Code LaTeX

@+

maths48 · 10-02-2022 22:13:22

Bonsoir,
Merci pour toutes ces réponses et désolé de répondre aussi tardivement.

Je vais essayer de reprendre la question 2 alors.

Pour la 4.b. J'ai suivi vos conseils et j'ai trouvé, merci

Pour la 4.c. J'ai toujours le même problème je trouve bien le 1 à gauche de z mais impossible de trouver 1 à droite et de dire 1 =<z =<1 donc z = 1...

Pour la 6 : on a phi : Z → G
α^k → k
(Est-ce le même α que celui de l'exercice...? J'en n'ai pas l'impression..?)

Pour montrer que c'est un isomorphisme il faut montrer que c'est une application linéaire bijective.
J'ai montré qu'elle est linéaire.

Pour montrer qu'elle est injective j'aimerais montrer que ker(phi) = {0} mais je ne sais pas comment procéder j'ai toujours calculé les noyaux à l'aide des matrices des applications...

Pour montrer qu'elle est surjective : pour tout y de G, y = phi(x^k)
<=> y = k
Donc elle admet toujours au moins une solution x^k dans Z.

Merci d'avance si vous me lisez encore,
Bonne soirée

PS : Je ne sais pas utiliser Latex auriez-vous des conseils pour apprendre ?

bridgslam · 09-02-2022 16:01:20

Bonjour,

Je regarde en diagonale ce que tu avais tenté:

maths48 a écrit :

xy = (a+b*sqrt(2))(c+d*sqrt(2)) = (2bd+ac) + (ad+bc)sqrt(2) appartient à G, [...]

Ici, tu n'as pas dis pourquoi 2bd+ac est dans $\mathbb{N}$ ... donc tu ne prouves pas que la loi est interne, ni que c'est la seule écriture possible.

Sinon essaie stp d'utiliser Latex, ce sera plus lisible...

A.

bridgslam · 09-02-2022 07:19:19

Bonjour,

Pour récapituler, je donne les points saillants de l'exo, à ne pas omettre/négliger sinon le reste ne vaut rien

1/ a et b caractérisent $a + b\sqrt{2}$ (peut-être le plus fondamental, sous-jacent à tout le reste )
2/ ne pas oublier de montrer que si $a + b\sqrt{2}$ et $a' + b'\sqrt{2}$ sont dans G, alors aa' + 2bb' est positif ( s'aider avec les inégalités de valeurs absolues compte-tenu des relations imposées )

Le reste est calculatoire ( si on suit stricto sensu la démarche proposée, pour la partie arithmétique on peut aller très vite avec les critères de parité , 1 étant impair et 2b pair).

G étant engendré $\alpha$ , on a un isomorphisme avec $(\mathbb{Z} , +)$ en posant $\alpha^k \rightarrow k$.

Comme je te l'avais mentionné, le "trou" entre 1 et $\alpha$, avec la structure de groupe de G qui est à isomorphisme près un sous-groupe de $(\mathbb{R} , + )$ (on le voit avec la fonction logarithme ), suffit à montrer le résultat final.
La démarche proposée a le mérite de fournir directement les (seuls) générateurs $( \alpha \;et\; \alpha^{-1} )$ de (G,x)

A.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Répondre

Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Pied de page des forums