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Bonjour,

  La façon la plus naturelle de démontrer cette propriété, c'est d'utiliser l'interprétation du rang d'une matrice comme le rang de l'application linéaire qui lui est canoniquement associée.

Si $u:\mathbb R^m\to\mathbb R^n$ est l'application linéaire dont la matrice dans les bases canoniques est $M$,
et si $v:\mathbb R^p\to\mathbb R^m$ est l'application linéaire dont la matrice dans les bases canoniques est $Q$, alors
on a rg(M)=rg(u), rg(Q)=rg(v) et rg(MQ)=rg(uov). Il suffit donc de prouver que rg(uov)<=rg(u).
Mais ceci vient du fait que l'on a toujours $\textrm{Im}(u\circ v)\subset \textrm{Im(u)}$, ce qui est clair d'après la définition de l'image.

F.