Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Je vous demande de l'aide concernant un exercice visant à redémontrer la valeur de la série [tex] \sum_0^ \infty \frac{ x^{k} }{k!} [/tex].

Soient a et x deux réels positifs.
Soit u_n^a(x) = [tex] \sum_0^ n \frac{ x^{k} }{k!} -  \frac{ x^{n} }{n!} [/tex].
On montre donc que cette suite est décroissante à partir d'un certain rang si a>0, sinon elle est croissante pour a=0.
Ensuite, on montre que si x >= y >= 0 et a>b>=0, alors u_n^a(x) > u_n^b(y).
Il faut ensuite en déduire l'égalité suivante :

e^x =  u_n⁰(x) + [tex] \frac{ x^{n+1} }{(n+1)!} [/tex]e^{x * O_n(x)} .
Où  O_n(x) est compris strictement entre 0 et 1.
Je n'arrive pas à surmonter cette question.