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Merci Fred, mais la dernière question où le trouve le probléme
Montrons que pour tout $1 \leq k \leq q-1$, nous avons: $$ \operatorname{dim} F_{k} \leq \operatorname{dim} \operatorname{ker} \xi^{j}, j=1, \ldots, k+1 $$

Salut. s'il vous plait j'ai besoin d'aide pour cette question
Soit $B$ une algèbre de Lie abélienne euclidienne plate de dimension $\mathrm{n}$.   Supposons que $\xi$ est nilpotent. Il existe $\operatorname{donc} q \leq \operatorname{dim} B$ tel que $$ \{0\} \neq \operatorname{ker} \xi \varsubsetneqq \operatorname{ker} \xi^{2} \varsubsetneqq \cdots \varsubsetneqq \operatorname{ker} \xi^{q}=B $$ Ensuite, nous avons la décomposition orthogonale : $$ B=\bigoplus_{k=0}^{q-1} F_{k} $$  où $F_{0}=\operatorname{ker} \xi$ et, pour tout $k=1, \ldots, q-1, F_{k}=\operatorname{ker} \xi^{k+1} \cap\left(\operatorname{ker} \xi^{k}\right)^{\perp} .$ 

Question: Montrons que pour tout $1 \leq k \leq q-1$, nous avons: $$ \operatorname{dim} F_{k} \leq \operatorname{dim} \operatorname{ker} \xi^{j}, j=1, \ldots, k+1 $$