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https://www.mathprepa.fr/par-analyse-synthese/

La même chose à un - près

M.

Puisque \( x \in [{-1}~,~1] \), on peut -- sans perte de généralité -- poser \( x = \cos t \).

L'équation (E) devient :
\[ \sqrt{1-\cos t} = 2\cos^2 t - 1 - 2\cos t\vert \sin t \vert. \]
En élevant les deux membres au carré on a nécessairement :
\[ 1-\cos t = (2\cos^2 t - 1 - 2\cos t\vert \sin t \vert)^2. \]
(on a aussi récupéré les solutions de \( -\sqrt{1-\cos t} = 2\cos^2 t - 1 - 2\cos t\vert \sin t \vert \))

\[ \begin{array}{lrcl}
\text{On a donc } : &1-\cos t &=& 4\cos^4 t + 1 + 4\cos^2 t\sin^2t - 4\cos^2t - 8\cos^3t\vert \sin t \vert + 4\cos t\vert \sin t \vert\\
\text{soit} & 0 &=& \cos t \left( - 8\cos^2t\vert \sin t \vert + 4\vert \sin t \vert + 1 \right)\\
\text{soit} & 0 &=& \cos t \left(-8 \vert \sin t \vert + 8\vert \sin t \vert^3 + 4\vert \sin t \vert + 1 \right)\\
\text{soit} & 0 &=& \cos t \left( 8\vert \sin t \vert^3 - 4\vert \sin t \vert + 1 \right)\\
\text{soit} & 0 &=& \cos t \left( u^3 - 2u + 1 \right),
\end{array} \]
en posant \( u := 2\vert \sin t \vert \).

Clairement, \( 0 \) n'est pas solution de (E) (c'est une solution de \( -\sqrt{1-x} = 2x^2 - 1 - 2x \sqrt{1-x^2} \) ) donc on a \( u^3 - 2u + 1 = 0 \). On a \( 1 \) racine évidente de \( u^3 - 2u + 1 = 0 \) et on peut factoriser : \( u^3 - 2u + 1 = (u-1)(u^2 + u - 1) \).

On en déduit que \( \vert \sin t \vert = \dfrac12 \) ou \( \vert \sin t \vert = \dfrac{-1+\sqrt5}4 \) car \( \dfrac{-1-\sqrt5}4 < 0 \). Finalement on a \( \cos^2t = 1 - \vert \sin t \vert^2 \in \left\{ \dfrac34 ; \dfrac{5+\sqrt5}8 \right\} \) et \( x \in \left\{ \dfrac{\sqrt3}2 ; -\dfrac{\sqrt3}2; \sqrt{\dfrac{5+\sqrt5}8} ; -\sqrt{\dfrac{5+\sqrt5}8} \right\} \).

On (c'est-à-dire pas moi !) vérifie que seul \( \dfrac{\sqrt3}2 \) n'est pas solution de (E).
\[ \boxed{~\mathscr S = \left\{ -\dfrac{\sqrt3}2; \sqrt{\dfrac{5+\sqrt5}8} ; -\sqrt{\dfrac{5+\sqrt5}8} \right\}~} \]

Merci,

C'est juste par curiosité, je l'ai trouvé dans une feuille d'exercice de prépa.

M.

Bonjour, bonsoir,

J'ai ici un problème que je n'arrive pas à résoudre. Y aurait il quelqu'un qui puisse m'aider ?

Enoncé :

Trouver toute les solutions réelles de (E) : sqrt(1-X)=2X^2 -1 -2Xsqrt(1-X^2)

Merci