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Bonjour Paco,

Effectivement, et on a donc bien la convergence normale...

Merci !

Bonjour tout le monde,

Soit [tex]\alpha\in[/tex] R.
On s'intéresse à la fonction [tex]\phi_{\alpha}[/tex] définie sur R par [tex]\phi_{\alpha}(x)=\frac{1}{1+\alpha^2x^2}[/tex].

On a montré que [tex]\forall x\in R, |\phi^{(p)}_{\alpha}(x)|\le \frac{p!}{|x|^{p+1}}[/tex].

On considère ensuite la suite définie de fonctions [tex](u_n)_{n\in N}[/tex] définie sur R par :  [tex]u_{n}(x)=\frac{a_nx^n}{1+n!a_n^2x^2}[/tex], pour tout [tex]x\in [/tex] avec [tex](a_n)_{n\in N}[/tex] une suite réelle.

On pose [tex]\alpha_n=\sqrt{n!}a_n[/tex].

On montre que pour tout entier [tex]n\ge 0[/tex] et tout entier [tex]p \ge n[/tex] et tout réel [tex]x[/tex], que :

[tex]u_n^{(p)}(x)=a_n\sum_{k=0}^p \binom{p}{k}\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}\phi_{\alpha_n}^{(p-k)}(x)[/tex].

On montre, de plus, que pour tout entier [tex]p[/tex] entre [tex]0[/tex] et [tex]n-1[/tex] et tout réel [tex]x[/tex], on a: 

[tex]|u_n^{(p)}(x)|\le \frac{|x|^{n-p-1}}{\sqrt{n!}}p!2^n[/tex]

On demande d'en déduire que la fonction [tex]U=\sum_{n=0}^{+\infty} u_n[/tex] est indéfiniment dérivable sur R.

J'essaie donc d'appliquer le théorème de dérivation sous le signe [tex]\sum[/tex], mais je bloque sur la convergence uniforme de la série [tex]\sum_{n\ge 0} u_n^{(p)}[/tex].
J'ai tenté de montré une hypothétique convergence normale sur tout compact [tex][-A;A][/tex] de R, mais je ne vois pas comment utiliser la majoration précédente pour prouver cette convergence.
Il me semble en effet que l'on ne peut pas invoquer une comparaison avec une somme de Riemman, à cause du terme exponentielle [tex]2^n[/tex], qui fait exposer le majorant...

Est-ce que je manque quelque chose d'évident ?

Merci d'avance de vos aiguillages !